Урок - мултипликативни функции

[krassi_holmz]

Ще се опитам да изясня няколко интересни свойства на мултипликативните функции.

Дефиниция 1. Мултипликативна функция наричаме функция [tex]f:\mathbb{N}\to \mathbb{C}[/tex], със свойството за всеки две естествени числа a и b, (a,b)=1 ((.,.) е най-големият общ делител), да е изпълнено f(ab)=f(a)f(b).
Ако горното е изпълнено за всяка двойка естествени числа, то функцията f се нарича тотално-мултпликативна.
Пример за тотално мултипликативни функции са константите, идентитетът f(x)=x и др. Нетривиални мултипликативни функции ще разглеждаме по-нататък.

Твърдение 1. За всяка мултипликативна функция, която има стойност, различна от нула, f(1)=1.
Доказателство: За всяко цяло а имаме (a,1)=1, следователно от дефиницията f(a)=f(a.1)=f(a)f(1). За някое а f(a) ще е различно от нула, което ни дава искания резултат.

Следствие:За всяка мултипликативна функция f, различна от 0 имаме f(1)=1.

Твърдение 2. Мултипликативните функции са определени от стойностите, които имат, когато аргументът е степен на просто число, т.е. не може две различни функции да са равни за всяка степен на просто число.
Доказателство: От Дефиниция 1 по индукция следва, че ако
(1)->>[tex]n=p_1{}^{\gamma _1}p_2{}^{\gamma _2}\text{...}p_k{}^{\gamma _k}[/tex]
е каноничното разлагане на n в произведение от прости числа, то ако f е мултипликативна функция:
(2)->>[tex]f(n)=f\left(p_1{}^{\gamma _1}\right)f\left(p_2{}^{\gamma _2}\right)\text{...}f\left(p_k{}^{\gamma _k}\right)[/tex]
Оттук, ако f(p^h) = g(p^h) за всяко ест. h и просто p, то f=g.

Твърдение 3. Функцията на Ойлер [tex]\phi (n)[/tex], дефинирана като броя на естествените числа по-малки от n и взаимопрости на n, е мултипликативна.
Когато n е степен на просто число, [tex]\phi(p^h) = p^h-p^{h-1}[/tex].
Оттук, когато n е от вида (1), имаме:
[tex]\phi(n)=\prod_{i=1}^k (p_i^{\gamma_i}-p_1^{\gamma_{i}-1})[/tex].

Твърдение 4. Функцията на Мюбус, [tex]\mu (n) [/tex], която е 1, ако n=1, 0, ако n се дели на точен квадрат, и (-1)^k, ако n е произведение на k прости числа , е мултипликативна.

Сега идва интересното - ето някои от пръв поглед странни свойства на двете функции:
[tex]\sum_{m|n} \phi(m) = n[/tex]
[tex]\sum_{m|n} \mu(m) = 0[/tex], където сумирането се извършва по всички делители на n.
Ще докажем второто свойство, защото то е по-фундаментално.
Нека n има вида (1). Тогава всички делители m на n, за които [tex]\mu (m)\neq 0[/tex] имет вида
[tex]m=\prod_{i=1}^k p_i^{l_i}[/tex], където [tex]l_i\in {0,1}[/tex]
Така ние разглеждаме всички комбинации на не-повече от к елемента, където ако броят на елементите е четен, прибавяме единица, а ако е нечетен - вадим единича от общата сума.
Добре известна е формулата
[tex]C_0^n-C_1^n+C_2^n-...+-C_n^n=\sum_{i=0}^n (-1)^i C_i^n=0[/tex], с което получаваме търсената стойност за сумата на функцията на Мьобус.
Освен за функциите на Мьобус и Ойлер, подобни уравнения са открити и за други мултипликативни функции. Най - удобния начин да роботим с такива изрази, е като въведем следния оператор:
Дефиниция 2. Конвулюция на Дирихле на две мултипликативни функции a и b, наричаме функцията с, за която
[tex]c(n)=\sum_{n|m}a(m)b(\frac{n}{m})[/tex]. За по-кратко се бележи [tex]c=a*b[/tex]

Следващите свойства на конвулюцията ще приведа без доказателство. Ще се радвам всяко недоказано твърдение оттук който може да го постне.
Твърдение 5. Конвулюцията на Дирихле е комутативна:[tex]a*b=b*a[/tex].
Но това свойство, което наистина прави конволюцията много удобна, е нейната асоциатоивност:
Твърдение 6. Конвулюцията е асоциативна: [tex](a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c[/tex]
С тези свойства се убеждаваме, че конвулюцията на Дирихле формира Абелева (комутативна) група върху мултипликативните функции.
Нека с N означим функцията N(x)=0,a I(1)=1, I(x)=0 за x!=1, и U(x)=1 и D(x)=x.
Веднага се убеждаваме, че I e единичният елемент на групата, т.е. f*I=I*f=f и че N e нулевия елемент: f*N=N*f=N.
Сега можем да изразим предишните резултати по нов начин:
[tex]\sum_{m|n} \phi(m) = \phi * U = D[/tex]
[tex]\sum_{m|n} \mu(m) = \mu * U = I[/tex]
Сега не е трудно да докажем формулата за обръщане на Мьобус:
Формула за обръщане: Нека f е мултипликативна функция и [tex]g(n)=\sum_{m|n}f(m)[/tex]. Тогава:
[tex]f(n)=\sum_{m|n}g(m) \mu(n/m)[/tex]
Наистина, имаме [tex]f=f*I=f*(\mu*U)=f*(U*\mu)=(f*U)*\mu=g*\mu[/tex]
Ае, толкова за сега. Сладващия път ще покажа как мултипликативните функции се свързват с генериращите функции (generating functions).
Извинявам се ако някъде има допусната грешка.

[Реклама]

[administrator]

Страхотна лекция!

[krassi_holmz]

Радвам се че поне някой я е прочел.
Ще се постарая в скоро време да постна доказателствата на недоказаните твърдения. И който може да помага!

[Who_cares123456]

не трябва ли f:N-->N , за да е мултипликативна

поне аз така го знам

и също така да отбележа , че ако n=1, то
∑_m|n м(m)=1 , макар че това е частен случай (става въпрос за функцията Мьобиус при м(n) )

при n>1 krassi_holmz си го е написал и доказал ,че се получава 0

[krassi_holmz]

Това за комплекснозночните функции няма толкова значение засега. Но по-нататък ще покажа и някои такива - примерно има едни на Дирихле. А примери за реалнозначни ф-ции са примерно ф-ята на Чебишев и на Манголт. А това за м . това си беше пропуск - благодаря за допълнение3то.

[kingcobra]

Здравейте !

Мултипликативните функции привлякоха вниманието ми като тема за реферат към УчИМИ.
Прочетох статията на krassi, и тя ми даде ориентация какво трябва да се съдържа в темата. Въпреки това, моля да ми кажете и други източници от които мога да науча нещо ново.
Можете да ми пишете и на Skype : mi6let0_bg

Предварително благодаря