Примерна тема - СУ Май 2007г.

[DevilFighter]

3зад.
lim_n->oo a_n = ? , където a_n = √(n+2) -2√(n+1) + √(n) , n E N

Правя следните преобразувания :
[ √(n+2) + √(n) ]* ([ √(n+2) - √(n) ] / [ √(n+2) - √(n) ]) = 2/( √(n+2) - √(n) ) =>

a_n = 2* [ 1/( √(n+2) - √(n) ) - √(n+1) ]
врътвам един НОК (почти съм сигурен, че не става с НОК) =>
a_n = [ 2/( √(n+2) - √(n) ) ]*[ 1 - √(n² + 3n + 2) + √(n² + n) ] ..... и незнам какво да правя.

[Реклама]

[Methuselah]

На пръв поглед се вижда че отговорът е 0.
Ще помисля още малко..

[Methuselah]

Полагам n+1=m въпреки че може и да е излишно...
[tex]sqrt{m+1}-2sqrt{m}+sqrt{m-1}=\frac{(sqrt{m+1}+sqrt{m-1})^2-(2sqrt{m})^2}{sqrt{m-1}+sqrt{m}+sqrt{m+1}}=\frac{m+1+m-1+2sqrt{m^2-1}-4m}{sqrt{m-1}+sqrt{m}+sqrt{m+1}}=\frac{2sqrt{m^2-1}-2m}{sqrt{m-1}+sqrt{m}+sqrt{m+1}}=\frac{4(m^2-1)-4m^2}{(sqrt{m-1}+sqrt{m}+sqrt{m+1})*(2sqrt{m^2-1}+2m)}=\frac{-4}{(sqrt{m-1}+sqrt{m}+sqrt{m+1})*(2sqrt{m^2-1}+2m)} [/tex]
което при m->oo е нула.

Хубаво нещо че има LaTeX! С удоволствие ще се науча да го ползвам по-добре.

[DevilFighter]

7 зад.
Ъглополовящите на ъглите на триъгълник ABC пресичат описаната окръжност съответно в точките A' , B' , C' . Да се докаже, че AA' + BB' + CC' > AB + BC + CA .

Ето аз какво правя :

(ч/з синусова теорема)
АА' = 2R*sin(α+γ/2 ) ; CC' = 2R*sin(β+γ/2) ; BB' = 2R*sin(γ+β/2)
a = 2R*sinα ; b = 2R*sinβ ; c = 2R*sinγ

AA' + BB' + CC' > AB + BC + CA
sin(α+γ/2 ) + sin(γ+β/2) + sin(β+γ/2) > sinα + sinβ + sinγ

Чудя се дали за всички случаи на ъглите са изпълнени неравенствата :
sin(α+γ/2 ) > sinα
sin(γ+β/2) > sinγ
sin(β+γ/2) > sinβ

Очевидно е, че ако са остри ъглите и един от ъглите е = 90°, това е изпълнено, но ако един от ъглите е > 90° (тъп)...

[Methuselah]

Тъй като мащабът не е от значение за неравенството можем да смятаме че R=1.
Нека <САВ=х и <АВС=у
Ще изразим отсечките които ни трябват:
AB=2sin(180-x-y)=2sin(x+y)
BC=2sinx
AC=2siny

<C'OC=дъгата ВС'+дъгата ВС т.е. 180-х-у + 2х= 180+х-у
=> СС'=2sin( (180+x-y)/2 )=2sin(90-(y-x)/2)=2cos( (y-x)/2 )

Аналогично:
BB'=2sin(x+(y/2))
AA'=2sin(180-x/2-y)=2sin(x/2+y)

Имаме да докажем че:
sin(x+y)+sinx+siny>sin(x/2+y)+sin(x+y/2)+cos( (y-x)/2) )

С което видях зор ...


Ти май същото си писал...

[omeganet]

А от къде я взехте тази примерна тема?