Задача с...бълхи

[tanas]

Във всяко поле на квадратна дъска 5х5 има бълха.Когато кажа "хоп" всяка скача в съседно квадратче.Съседни са две квадратчета ако имат обща страна.Да се докаже, че кажа ли "хоп", поне едно квадратче ще остане без бълха.

[Реклама]

[name01]

Решението идва оттам че полетата са нечетен брой т.е. ако бяха четни винаги може бълхите да скочат така, че всики полета да са запълнени, но когато са нечетни винаги остава 1 елемент от множеството, който няма симетричен, следователно той ще остане незапълнен.

[OliGoFren]

Една задчка-закачка и от мене. Тя е в същия дух като предната и също много лесна.
Имаме квадратно шахматно поле 9х9. Отначало във всяко квадратче има по един охлюв. По едно време всеки охлюв се преместил с по едно квадратче диагонално на това, в което е бил пъровначално. Какво се иска? Да се докаже, че така винаги ще има след преместването поне 9 празни квадратчета.

[tanas]

[kivito]

Нека означим полетата с А,Б,В,Г,Д и 1,2,3,4,5.Всяка бълха в най-добрия случай-да остане поне 1 незапълнено квадратче, скача в съседно на нея квадратче по такъв начин,че да се разменят само местата им формално,т.е.А1 отива при А2...А5 минава в Б5,която минава в В5...Д5,слиза надолу в Б4...Д1 тръгва към Г1 и така до А1.Но има една бълха,която се намира в средното квадратче-В3.Тя все трябва да скочи в друго квадратче,а за да има във всяко квадратче по една бълха,то тази трябва да си остане на мястото.Ако беше четен броят на квадратите,а не нечетен-тогава е възможна ротация.

[tanas]

[OliGoFren]

Айде и аз да дам жокерче - предположете, че полетата са оцветени шахматно в черно и бяло. Колко са белите и колко черните полета?

[tanas]

[name01]

Еми колкото до тая задача както казах понеже са нечетен брой квадрати няма как да е запълнена дъската ако всяка бълха си смени мястото, това решение е вярно и лесно се доказва, то по-скоро е очевидно.
А колкото до това което искаш да се докаже строго може би изглежда нещо от сорта на

Координатна система ; всяка бълха има координати от вида [tex]M_{i,j} : (i&j) \subset Z\subset [0;5][/tex]

За да е изпълнено условието да мърдат само в съседни квадрати то е достатъчно координатите им да се менят само по едната ос с [tex]\Delta =1[/tex], и от там може би
за да е максимално пълна дъската след скока всеки две бълхи с обща координатна ос трябва да си сменят стойността на другата координата, но винаги остава една която няма как да заеме 2 полета, понеже бълхите са (2к+1), ама пак май не е много строго това като доказателство, но друго не ми идва наум.

[tanas]

Строгото решение, което исках е това на OliGoFren.
Но мисля, че с твоето решение, първото, ще хванеш някоя точка на състезания.

[name01]

[tanas]

[name01]

Имам предвид че шахматното оцветяване е просто цветния вид на нечетно множество, един елемент в повече, ако бълха от бяло може да скочи в черно то винаги ще има една която е заградена само от други квадрати и няма да има къде да скочи. Oligofren също е дал същото решение.

[tanas]

[name01]

Трябва много да съм се втръбил в тая математика, че да се засягам от такива неща.
няма проблеми

[tanas]

[name01]

Важното е че сме в играта ахахахахахаха