Ебаси и задачите с ебаси отговорите

[name01]

1. [tex]\bigtriangleup ABC[/tex] - правоъгълен [tex]\angle C = 90^o[/tex]

ako [tex]\angle CAB = \alpha[/tex] колко е [tex]\frac{R}{r}[/tex]

От [tex]r=\frac{a+b-c}{2}[/tex] & [tex]R=\frac{c}{2}[/tex] можем да намерим
[tex]\frac{r}{R}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} - 1 = sin\alpha + cos\alpha -1[/tex] и оттук:

[tex]\frac{R}{r}=\frac{1}{sin\alpha + cos\alpha - 1}[/tex] не се сещам как да го рационализирам, за да ми излезне отговора: [tex]sin\alpha - sin\beta -1[/tex], не се сещам къде мога да рационализирам.



2. Подбна :

[tex]\bigtriangleup ABC[/tex] - правоъгълен [tex]\angle C = 90^o[/tex]; [tex]\angle CAB = \alpha[/tex]

Ако вписаната окръжност се допира до хипотенузата в точка [tex]K[/tex] и [tex]\frac{KB}{AK}=k[/tex], то намерете [tex]tg\alpha[/tex]

Отговорът е: [tex]\frac{2k(\sqrt{k^2 + 6k + 1}-k -1)}{k^2 - 4k -1 + (k+1)\sqrt{k^2 + 6k + 1}}[/tex] тука просто ме удариха в земята с тоя отговор.

[Реклама]

[cub]

R / r = 1 / (sinα + sin β) - 1

▲ABC - правоъгълен по усл. => sin β = cos α = b/c

=> R / r = 1 / (sinα + cosα) - 1 = sinα - cosα / ((sinα + cosα)(sinα - cosα)) - 1
sin²α + cos²α = 1
sinα - cosα - 1
cosα=sinβ

Отг. sinα - sinβ - 1

[name01]

Ем... мерси.

[Relinquishmentor]

На втората задача получих сходен отговор, ама не съвсем същия, макар, че проверих изчисленията неколкократно. Или аз или ония бъркат

Ето насоки за решаването на задачата:
От центъра на окръжността спускаме радиус, който минава през точка K и е перпендикулярен на AB с дължина r. Свързваме центъра на окръжността с върховете А и В и получаваме два триъгълника AOK & BOK. Обаче АО и ВО представляват ъглополовящи (това самичики ще докажете), от което следва, че ако :
1. означим ъгъл CAB с α, ъгъл OAK ще е α/2
2. означим ъгъл ABC с β, ъгъл OAK ще е β/2

Понеже триъгълници АОК и ВОК са правоъгълни, то в тях ще са в сила следните зависимости:
1. tg α/2 = r/AK
2. tg β/2 = r/KB

или

(tg α/2)/tg β/2 = KB/AK = k

Обаче β не е неизвестен ъгъл, а е равен на п/2 - α. Значи β/2 = (п/2 - α)/2 = п/4 - α/2.
Като преработим този израз (самички), получаваме, че tg β/2 = (1 - tg α/2)/(1 + tg α/2).

Като заместим горе, получаваме квадратно уравнение спрямо tg α/2, което също ще решим самички и самички ще изберем един от двата отговора . След това, като намерим tg α/2, изразяваме чрез него tg α и готово.

[name01]

Добре това си е решение, по дългия път за който се сещам хипотенузата е [tex]AK(k+1)[/tex] от там изразяваме лицето и страните и ще се получат 3 уравнения, но задачата е неприятна при всички положения откъм сметки.

[uktc]

Нека окръжността допира AC в M и BC в N.
Нека AK=y, BK=ky.
AB=y(k+1); AM=y; BN=ky; Нека CM=CN=r.
Прилагаме Питагор за ABC и получаваме уравнението [tex]r^2+y(k+1)r-ky^2=0[/tex] с [tex]D=y^2(k^2+6k+1)[/tex]. Лесно се показва, че k>0 води до D>0. Намираме [tex]r_{1,2}=\frac{y}{2}[\pm\sqrt{k^2+6k+1}-(k+1) ] [/tex]. При знак минус, r<0 със сигурност. При плюс, отново показваме, че k>0 води до r>0. Значи [tex]r=\frac{y}{2}[\sqrt{k^2+6k+1}-(k+1) ] [/tex]
[tex]BC=r+ky=\frac{y}{2}[\sqrt{k^2+6k+1}+(k-1) ] [/tex]
[tex]AC=r+y=\frac{y}{2}[\sqrt{k^2+6k+1}-(k-1) ] [/tex]
[tex]tg\alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{k^2+6k+1}+(k-1)}{ \sqrt{k^2+6k+1}-(k-1)} [/tex]

П.П. Да попитам на Latex-a как се поставя интервал и нов ред?

[name01]

Интервала е "\hspace{a}"-където а е разстояние:
пример а{10}a{20}a{30}a
[tex]a\hspace{10}a\hspace{20}a\hspace{30}a[/tex]

[name01]

uktc-аз не намирам грешка в твоето решение, защо обаче отговора не е същия незнам.

[uktc]

Аз знам. Защото техния е грешен.

[name01]

Остава варианта пак да не съм прочел правилно условоето ама едва ли, то си беше 5 думи , случват се такива печатни грешки, ама на тая някой направо се е престарал откъде е намерил това въображение за тоя отговор

[uktc]

Да не е пък AK/KB=k...
Ама то все тая, тогава отговора ще е реципрочен на получения от мен.

[Relinquishmentor]

Айде да дам и своя отговор, та да стане по-интересно

[tex] \frac{2(\sqrt{k^2 + 6k + 1} - k - 1)}{k^2 + 4k - 1 + (k + 1)\sqrt{k^2 + 6k + 1} } [/tex]

[name01]

Стига бе хора ..... ще погледна пак задачата като се прибера да видя така ли е.

[uktc]

Relinquishmentor, ти си по-близо засега

[omeganet]

Ето какви са необходимите сметки. По тях можете да търсите грешките, вместо всеки да дава само своя отговор...


[tex] \frac{{tg\frac{\alpha }{2}}}{{tg(45^\circ - \frac{\alpha }{2})}} = k \\ tg\frac{\alpha }{2} = m > 0 \\ tg(45^\circ - \frac{\alpha }{2}) = \frac{{1 - tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 + tg\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{1 - m}}{{1 + m}} \\ k = \frac{{m(1 + m)}}{{1 - m}} \Rightarrow m^2 + (k + 1)m - k = 0 \\ D = k^2 + 6k + 1 \\ m = \frac{{ - (k + 1) + \sqrt D }}{2} \Rightarrow m^2 = \frac{{k^2 + 4k + 1 - (k + 1)\sqrt D }}{2} \\ tg\alpha = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 - tg^2 \frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2m}}{{1 - m^2 }} = \frac{{2(\sqrt D - k - 1)}}{{ - k^2 - 4k + 1 + (m + 1)\sqrt D }} \\ [/tex]

[Fed]

Решавам задачата по начина на Relinquishmentor и получавам:

[tex]tg\alpha = \frac{{2\left( {\sqrt {k^2 + 6k + 1} - k - 1} \right)}}{{ - k^2 - 4k + 1 + \left( {1 + k} \right)\sqrt {k^2 + 6k + 1} }}[/tex]

Струва ми се че ми е верен отговора. Ето защо: при равнобедрен правоъгълен ▲ имаме к=1. Заместваме и се получава [tex]tg\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 45^o[/tex], което е и вярно.

По този начин всеки може да направи проверка за верността на отговора си, вместо да се чудим кой е верен.

[name01]

Така е, това е печатна грешка, няма как да е иначе.

[Relinquishmentor]

[Fed]

В такъв случай, може би това е верния отговор!