интегрално неравенство

[Jorkata]

Нека f(x) e функция, дефинирана и непрекъсната в интервала (0, ∞), за която f(x²) ≤ xf(x), за всяко x>0.

Да се докаже, че

[tex]\int_{1}^{2} f(x) d x\le \frac{3}{2}f(1).[/tex]

[Реклама]

[vladob]

Од [tex]f(x^2)\le xf(x)[/tex] следува [tex]f(x)\le \sqrt{x} f(\sqrt{x})[/tex]
[tex]\int_{1}^{2} f(x) d x\le \int_{1}^{2} \sqrt{x}f(\sqrt{x} ) \le \int_{1}^{2} \sqrt{x}\sqrt[4]{x} f(\sqrt[4]{x} ) = \int_{1}^{2} \sqrt[4]{x^3} f(\sqrt[4]{x} ) \le \dots \le \int_{1}^{2} x^{\frac{2^n - 1}{ 2^n}} f(x^{\frac{1}{ 2^n}} ) \le \lim_{n \to \infty} \int_{1}^{2} x^{\frac{2^n - 1}{ 2^n}} f(x^{\frac{1}{ 2^n} } )[/tex]

од тоа што [tex] \lim_{n \to \infty} x^{\frac{2^n - 1}{ 2^n}}= x, \lim_{n \to \infty} f(x^{\frac{1}{ 2^n} } )= f(1)[/tex]

Добиваме [tex]\int_{1}^{2} f(x) d x\le f(1) \int_{1}^{2} x dx = \frac{3}{ 2} f(1)[/tex]