Две задачи за пирамида

[krasinceto]

1. Правилна четириъгълна пирамида ABCDM. всички ръбове имат дължина а. Да се намери синуса на <[BD,(BCM)]

2. (ВТУ 2004)Триъгълна пирамида АВСД има основа равнобедрен триъгълникАВС (АС=ВС), <С=γ. Околните стени минаващи през бедрата му са перпендикулярни на основата на пирамидата, а третата сключва с нея ъгъл с мярка β. Разполовяваща ъгъла с мярка β пресича ръба СД в точка М и разделя пирамидата на 2 части. Да се намери обема на тези части, ако R е радиуса на описаната около ▲СДN окръжност, където N е среда на АВ.

[Реклама]

[uktc]

1.


Нека търсеният ъгъл е α.
Да разгледаме правоъгълен паралелепипед АBCDА1B1C1D1 с основи АBCD и А1B1C1D1.
Нека М е центърът на горната основа.
Така получаваме пирамидата ABCDM, за която по условие всички ръбове са a.
Сега пресмятаме по питагорова теорема от тр. AMA1 -> AA1=a√2/2. Това е околният ръб на паралелепипеда.
Нека T и U са среди на C1D1 и A1B1.
Ясно е, че (BMC)≡(BUTC).
Лесно доказваме, че (BUTC) перп на (CDD1C1).
Нека от D спуснем перпендикуляр към (BUTC). От казаното на горния ред следва, че петата P на този перпендик лежи на пресечницата CT на (BUTC) и (CDD1C1).
Значи <α=<DBP. Намираме CT по питагорова от тр. ТC1C. Изразяваме лицето на тр. CDT по 2 начина с цел да намерим DP. CD.DD1=CT.DP; Намираме DP ; sinα=DP/DB.

[uktc]

2.
От условието=> CD _|_ (ABC)=>CD_|_NC, т.е. тр. NCD е правоъг.
<CND=β, защото е линеен на двустенния.
Значи ND=2R=> CD=2Rcosβ.tgβ=2Rsinβ.
CN=2Rcosβ.
NB=NC.tgγ/2=2Rcosβ.tgγ/2.
AB=4Rcosβ.tgγ/2.
CM=CN.tgβ/2=2Rcosβ.tgβ/2.
V_ABCD=1/3* S_ABC.CD;
V_ABCM=1/3* S_ABC.CM;
V_ABMD=V_ABCD-V_ABCM.

[r2d2]

Зад1.
Мисля, че е по-просто!

[immo]

Ам извинявам се на втората задача някой може ли да даде чертеж че така немога да си я обесня много много. мерси предварително