Пирамида и сечение

[maninkata_88]

1. околния ръб на правилна четириъгълна пирамида е равен на b, а ъгъла м/у два съседни околни ръба на пирамидата е равен на α. През върха на пирамидата, успоредно на основен ръб е прекарана равнина, която сключва с равнината на основата ъгъл β. Да се намери лицето на сечението.

2. в правилна триъгълна пирамида дължината на радиуса на вписана окръжност в основата е r, а дължината на апотемата и е а. да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина, минаваща през върх на основата, успоредна на срещулежащия му основен ръб и перпендикулярен на околната стена, съдържаща този ръб

3. Ъгълът м/у околен ръб и основата на правилна четириъгълна пирамида е 60°, а дължината на околен ръб е а. през средата на един от околните ръбове, перпендикулярно на него е прекарана равнина. Да се построи сечението на тази равнина с пирамидата и да се намери обема на пирамидата която се получава при пресичането на дадената пирамида със сечението(сечението е основа, а върха на дадената пирамида е връх на пирамидата която търсим)

4. ABCD - равнобедрен трапец, основа на пирамида. AB=a, cos<BAD = 2/3. всяка околна стена на пирамидата образува в равнината на основата двустенен ъгъл 60°. през ръба CD е прекарана равнина, която пресича околните ръбове MA u MB съответно в E u F, така че EF=Cd. Да се намери лицето на сечението.

[Реклама]

[DevilFighter]

Нямам възможност да направя чертеж,надявам се да разбереш и без него решението.
1 зад. Пирамидата е ABCDV с основа ABCD и връх точка V. Нека т.P лежи на AB, а т.Q лежи на CD, така че PQ || BC(AD). Сечението е ▲PQV. Докажи, че VP = VQ => ▲PQV-равнобедрен. т.Т-среда на PQ => VT-h,m,l(височина,...). По условие <VTO = β (AC ∩ BD = т.О). S_▲PQV = (1/2)*PQ*VT = (1/2)*b*VT. Трябва да намерим VT.

Взел съм 2-стенния ъгъл на околните стени (BCV) и (DCV) = <BMD = α (т.М лежи на VC, като BM _|_ VC , DM _|_ VC ; BM = DM) => MO = cotg(α/2) * [(b√2)/2 ]

▲MCO ~ ▲OCV => MO/CO = VO/VC => VO(височина на пир.) = (МО*VC)/CO = ( bcos(α/2) )/( √(2cosα) ), където VC(околният ръб) съм намерил по следния начин :

Намираш BM , изразяваш sin<BCV = sinλ = BM/BC (<BCV = λ) =>
BC/sin(2λ) = VC/sinλ => VC = ( bsin(α/2) )/( √(2cosα) )

Разглеждам ▲VTO :
sinβ = VO/VT => VT = VO/sinβ = ( bcos(α/2) )/( sinβ*√(2cosα) )

S_▲PQV = (1/2)*PQ*VT = (1/2)*b*VT = (√(2/cosα) * [ (b²cos(α/2) )/(4sinβ) ]

2зад.
Получавам S_сеч. = [( 2r²√(3) )/( a³) ]*(a² - 3r²)*[ √(a² - r²) ]

3зад.
Получава се стандартно сечение.Ако пирамидата е ABCDV с основа ABCD, то ▲ACV-равностранен(от усл.) =>Като построиш медианата от т.А към VC то тя се явява и височина, та търсеното сечение трябва да минава през правата АМ(т.М-среда на VC, като AM_|_VC)........
Като отговор получавам V_{търсената пирамида} = (a³/36)*√(3)

4зад.
От всички задачи тази ми се стори най-трудна.Ако някой ми потвърди отговора S_сеч. = (a²/14)*√(15) ще постна решение.....

[Fed]

На 4 зад. получавам √105*а²/125