Една задача за анализ.

[HeypaBHobeceH]

Дадена е функцията f(x)=30x⁴ + 18x² - 16x + 3

да се докаже че f(x)>0 за всяко реално х.

[Реклама]

[vladob]

1)За x≥1 i x≤-1,
x⁴≥x²>0
Значи 30x⁴+18x²- 16x+3≥48x²-16x+3
y=48x²-16x+3 има пресеци со x-оската за некои x во интервал (-1;1).
Значи 30x⁴+18x²- 16x+3>0

2)За 0≤x<1; x⁴≤x²≤x
Значи f(x)≥32x⁴+3>0

3)Za -1<x<0; x⁴≤x²
f(x)≤x⁴-16x+3=16x(3x²-16)+3
Но 3x²-16<0 i 16x<0 => f(x)>0

Можеби би било поелегантно на пример вака.
За x=0 f(x)>0
Нека постои а за кое f(a)<0
Тогаш мора да постои b за кое f(b)= 0 и b е во интервалите (0;a) или (a;0) - (Функцијата е непрекината)
а потоа да се дојде до контрадикција дека тоа не е можно.

[HeypaBHobeceH]

[vladob]

Извини грешка !
Треба
3)Za -1<x<0; x4≤x2
f(x)=30x⁴+18x²-16x+3≥48x⁴-16x+3=16x(3x³-1)+3
но 16x<0 и 3x³-1 < 0 => Нивниот производ е позитивен => f(x)>0

[HeypaBHobeceH]

мерси брате, всичко е ясно!