СУ-2005год.

[DevilFighter]

Много нестандартни задачи

[Реклама]

[uktc]

Ех, да беше дадено, че a+b+c е постоянна величина...

[name01]

по първата задача ми се струва че ако f(x) = ab + bc + ac то при всички положения най малката и стойност е - 1 като се получава като 2 от променливите заемат стойности съответно -1 и 1 а третата се нулира понеже примерно a = -1 ; c =1 и f(x)= -b +b -1 = -1.

[HeypaBHobeceH]

и аз така го мислех за първото, а второто може да се реши със почти същата логика.

[HeypaBHobeceH]

първата производна е квадратна функция с положителен коефициент пред х² , върха на парабулата е при х=(a+b+c)/3 като minF(x)=F((a+b+c)/3)=(ab+bc+ca-a²-b²-c²)/3 остава само да се сметне

[Who_cares123456]

[HeypaBHobeceH]

нещо обърках май какво се търси ....аве толкова рано задачи решават ли се

[name01]

[uktc]

[Who_cares123456]

моя грешка
идеята ми е minf(x)=-1 при a+b+c=0 (и просто гледах да го натъкмя така и затуй е таз производна от нищото) и тъй като minf(за a+b+c=0)=minf(за всяко а,b,c) значи minf(x)=-1
макар че както съм го написал излиза, че a+b+c=0=const , което вече си е грешно (пример: (-1;1;-1) 1-1-1=-1)

PS в една подобна задача : min(xy)=? при α₁≤x≤y≤α₂
даскалът доказа , че min(-x²)=min(xy)
а това става при x+y=0 и от тук ми хрумна тази , изглежда , глуповата идея

[name01]

Незнам дали това се приема за решение на изпит, но логиката е ясна:

За две числа в интервала [-1;1] очевидно f=ab има минимум равен на -1
при a=-1 и b = 1
имаме f + ac + bc = ab + bc + ac , за което и да е произволно число
f= ab -c +c = ab с минимум = -1
Или ab + bc + ac = ab + (a+b)c като минимум ще има при минимален сбор на двете събираеми а минимума на ab e -1 а на (a+b)c e 0 за всяко c
ако искаме (а+b)c да е min то той пак се достига когато (а+b)=max,
a c = min = -1 от което следва че 2 от променливите пак ще заемат стойности -1 и 1

Сега незнам дали може така да се обоснове но е логично към функцията
да прибавим (а+b)c което очевидно = 0

[uktc]

Мда, има известна логика в думите ти.

[uktc]

Да върна темата...

[name01]

[tex]f_{(x)}=(x-a)(x-b)(x-c)[/tex]

[tex]f^1_{(x)}=(x-c)(x-b)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=\left((x^2-bx-cx+cb)+(x^2-ax-cx+ac)+(x^2-bx-ax+ab)\right)[/tex]

Забелязваме че сбора е [tex] 3x^2 + (ab+ac+cb)-2x(a+b+c)[/tex]

За x² не зависи от знака +/-, за [tex](ab+ac+cb)[/tex] сме доакзали от а) че минимум се заема когато 2 величини заемат съответно -1 и 1, следователно максимума ще се заеме когато и3-те величини заемат 1 или -1 понеже [tex]f_x=ab + (a+b)c[/tex]очевидно заема макс в -1 или 1 за: [tex]-2x(a+b+c)[/tex] е очевидно че ще има макс/мин когато и 3-те величини са в крайна точка.
Сега ако: x<0, имаме максимум в т. 1
x>0, имаме максимум в т. -1

Аз ли съм зле или модула в условието е неоходим за [tex]x\in (-1;1)[/tex]