От втора примерна тема в СУ за 2006(две задачи)

[wowchi]

Две задачки пускам, интерсно ми е какви решения ще предложите, за да видя дали съвпадат с това, което аз измислих:

1) Намерете сумата от първите n члена на редицата
1, 11, 111, 1111, ..., 11...1(n пъти), ...

2)От всички триъгълници с еднаква основа а и даден ъгъл А(алфа) при върха да се намерят ъглите при основата на този, който има най-голям периметър.

п.п.: надявам се да не повтарям друга тема.

[Реклама]

[DevilFighter]

Едната задача виж тук :
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=1055

[Tony_89]

1)

11 - 1 = 10
111 - 11 = 100
.
.
.
a_n - a_n-1 = 10^n-1

a_n - 1 = 10 + 100 + .... + 10^n-1 =

= 10*(1 - 10^n-1)/(1 - 10) = (10ⁿ - 10)/9

a_n = (10ⁿ - 1)/9

a₁ + a₂ + ... + a_n =

(10 + 100 + ... + 10ⁿ - n)/9 =

= ((10ⁿ⁺¹ - 10)/9 - n)/9 = (10ⁿ⁺¹ - 10 - 9*n)/81

[Tony_89]

Sry, DevilFighter, писали сме едновременно, пък аз не съм знаел, че задачата вече я има в форума

[DevilFighter]

Няма нищо Tony_89 !

Давам жокер за 2ра задача (то не, че е трудно да се досети човек) :
Разпиши синусова теорема: a/sinα = b/sinβ = c/sin(α+β) =>
b = (a/sinα)*sinβ ; c = (a/sinα)*sin(α+β) => P_▲ABC = a+b+c

[Lubo]

Здравейте Математици,

Много от отдавна не съм намирал време да се присъединя към вас. То и сега ми е много малко времето, но... да се надявам, че през Юли и Август ще успявам да отделям повече.

Искам да предложа един малко по-нестандартен подход към задачата за максималния периметър на триъгълника.

Този подход не използува алгебрични/тригонометрични преобразувания, но изисква да се знае основната (може би) дефиниция за елипса - Геометричното място на точки, за които сумата от разстоянията им до две фиксирани точки (фокусите на елипсата) се запазва постоянна.

Крайният отговор за ъглите при основата е (те са равни по между си) (180 - а)/2.

По-долу е "елиптично-окръжностният" подход към решението на тази хубава задача.

Извинете ме за Латиницата на чертежа - не мога да пиша на Кирилица в Geometer's Sketchpad. Вероятно нямам подходящи фонтове.




Любо