Триъгълник, окръжност и ъгли

[divine]

Имам две задачки, които не мога да схвана, някой да даде малко насоки.
Зад 1. За триъгълник АБС знаем, че ъгъл АБС = 45 градуса, точка Д лежи на БС, като СД = 2. ДБ и ъгъл АДС = 60 градуса. Да се докаже, че центърът на описаната около триъгълник АБС окръжност лежи върху АД и да се намерят мерките на дъгите СБ и АБ на тази окръжност.
Отг. 120 градуса и 150 градуса
Зад 2. Точката Р лежи на страната АС на равностранния триъгълник АБС, а К е средата на АР. През Р е построена права р, перпендикулярна на АБ, а през С - права с, перпендикулярна на БС. Ако р и с се пресичат в точка Д, да се намерят ъглите на триъгълник БКД.
Отг. 90, 60, 30 градуса

[Реклама]

[martosss]

оле много кофти задачи са ти останали ама едната я реших до някъде - на втората успях да докажа, че ъгъла е 90 градуса...
Означаваш ДС=х и АК=а и почваш да смяташ...
нека ДР пресича АВ в точка Н и ВС пресича РД в точка У- ще докажем, че ▲КСД≈▲ВУД, от там имаме, че ъгъл ДКС= ъгъл ДВС, от там около КВСД може да се опише окръжност и понеже ъгъл ДСВ е 90°, то ДВ е диаметър=> ъгъл ДКВ е 90°
а ето го и доказателството на триъгълниците
1. ъгъл НУВ =30 и ДС= х от там в правоъгълния ДСУ => ДУ=2*ДС
2. АК=КР=а имаш ъгъл СУД=ъгълУРС=ъгъл РСД=30 => УС=СР; имаш АВС-равностранен => ВС=АС=АС=АК+КР+РС=2а+РС от където за УВ получаваш УР=УС+ВС= СР+2а+СР = 2(СР+а); КС=КР+РС=а+РС => УВ=2КС
3.ъгъл ДУС=ъгъл ДСК=30
от 1, 2 и 3 следва, че ▲КСД≈▲ВУД и както по-горе казах ъгъл ДКС е 90
после имаш от подобието, че ъгъл КДС=ъгъл ВДУ, извади ВДС и получаваш ъгъл КДВ=ъгъл СДУ, а ъгъл СДУ е 90 -30=60 => ъгъл КДВ=60 и готово.. май даже цялята съм я решил ама не ги обичам тия задачи- гледай колко построения трябват, пък и тия тръгълници докато ги видиш... ама карай, важното е че я реших

[Dive]

Моето решение не включва допълнителни построения, а най-вече Косинусова Теорема (дано сте я учили вече).
Най-напред доказваш, че РДС е равнобедрен (има два ъгъла по 30) .
След това си означаваш с малки буквички всички равни отсечки по чертежа - много е важно! После от Косинусова Теорема за този триъгълник изразяваш РС. Тъй като РС сама по себе си е равна на страната на триъгълника (а) минус 2. АК (2х) , като я имаш изразена и с ДС (у), вече ще имаш връзка между трите буквички, коеот е много важно за по-нататъчното изразяване.
Последователно прилагаш Косинусовата Теорема за
▲КРД и ▲АВК с цел да изразиш съответно КД² и КВ². След това разглеждаш правоъгълния ▲ВДС и чрез Питагорова теорема изразяваш ВД². Ето че вече имаш квадратите на 3-те страни на ▲ВКД. Сега остава да събереш КД² + КВ², за да видиш, че е равно точно на ВД². А това отново от Питагор знаем, че е валидно само за правоъгълен триъгълник. => <ВКД = 90°, защото точно той е срещу ВД.
Остава да кажем, че ВД² = 4.КД²
=>ВД = 2.КД => <КВД = 30° (Теорема за катет срещу ъгъл от 30°)
Ами това е от мен, ако има въпроси - питай!

[martosss]

ето го батко бе и другата реших...
по условие СД = 2ВД, нека ДВ=х и СД=2х
нека СН перпендикулярно на АД(Н е върху АД)(ето тази височина ми липсваше до сега) и М е върху АД, така че ъгъл АВМ =15
имаш ъгъл ДМВ=ВАМ+АВМ=30, ъгъл ДВМ=45-15=30 => ДВМ е равнобедрен и ВД=МД=х
имаш в триъгълник НДС, че ъгъл НСД е 30 и СНД=90 следователно НД=½СД=х=НД
от червените неща следва, че Н≡М
Нека АД пресича описаната окръжност к в точка У.
нека ДК е височина във ▲НВД. ъгъл КНД е 30 следователно КД=1/2НД=х/2
Намираш от питагоровата теорема НК=КВ=½НВ= √[x²-(x/2)²]=x√3/2 => HB=x√3=AH(понеже АВН е равнобедрен)
от питагоровата теорема намираш в триъгълник НДС НС=√(4x²-x²)=x√3=CH
получихме, че АН=СН, но и АН=ВН следователно АН=ВН=СН следователно Н е центърът на описаната около АВС окръжност
имаш за дъгата АВ=ъгъл АНВ като централен => дъгата АВ=ъгъл АНВ=150° . Дъгата ВС е 260-АВ-АС=360-150-90=120° готово