Регистрирайте сеРегистрирайте се

Уравнение в цели числа


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
marto_mn
Редовен


Регистриран на: 03 Dec 2006
Мнения: 107

Репутация: 30.3Репутация: 30.3Репутация: 30.3
гласове: 15

МнениеПуснато на: Tue May 15, 2007 7:36 pm    Заглавие: Уравнение в цели числа

8x3 + 8x2y +8xy2+8y3=15(x2+y2+xy+1)
Да се реши в цели числа!!!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Who_cares123456
Редовен


Регистриран на: 14 Apr 2007
Мнения: 163

Репутация: 39.8Репутация: 39.8Репутация: 39.8Репутация: 39.8
гласове: 20

МнениеПуснато на: Tue May 15, 2007 8:47 pm    Заглавие:

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=1687
не че ще ти помогне ама да знаеш поне ,че по тоз начин не излиза нещо смислено Cool
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
marto_mn
Редовен


Регистриран на: 03 Dec 2006
Мнения: 107

Репутация: 30.3Репутация: 30.3Репутация: 30.3
гласове: 15

МнениеПуснато на: Wed May 16, 2007 8:51 am    Заглавие:

За съжалемие и аз пробвам същото полагане , но без резултат Sad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Titu_Andrescu
Напреднал


Регистриран на: 28 Oct 2006
Мнения: 370

Репутация: 68.9
гласове: 29

МнениеПуснато на: Wed May 16, 2007 3:04 pm    Заглавие:

Умножаваме по (x-y) и двете страни на уравнението и получаваме, че:
8(x4-y4)=15(x-y)+15(x3+y3), последното уравнение е еквивалентно на 8x4-15x3-15x=8y4-15y3-15y.
Следователно трябва да намерим цели числа m и n, за които е изпълнено
f(m)=f(n), където f(x)=8x4-15x3-15x.
Сега изследваме функцията. f(x) има два корена 0 и r (2<r<3) и f(x)≥0. Също така и f(x) е монотонно растяща за x≥r. Следователно, ако m≥3,
f(m)=f(x) => x<0. Тогава решениятя, ако съществуват такива, трябва да принадлежат на интервалa [0,r] - което е подинтервал на [0,3).
Следователно m и n може да са само измежду числата 0,1,2.
Проверяваме кои вършат работа и установяваме, че единствено (1,2) и (2,1) са решения на уравнението. Very Happy


Последната промяна е направена от Titu_Andrescu на Wed May 16, 2007 3:59 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed May 16, 2007 3:10 pm    Заглавие:

Titu_Andrescu написа:
8(x4+y4)=15(x-y)+15(x3+y3),

тук имаш малка техническа грешка - трябва да е 8(x4-y4)=...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Titu_Andrescu
Напреднал


Регистриран на: 28 Oct 2006
Мнения: 370

Репутация: 68.9
гласове: 29

МнениеПуснато на: Wed May 16, 2007 3:58 pm    Заглавие:

Да прав си. Поправих го.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sun Oct 12, 2008 8:13 pm    Заглавие:

С полагането [tex]x+y=a[/tex] и [tex]xy=b[/tex], може да се реши!
Става
[tex]512b=\frac{512\left(8a^{3}-15a^{2}-15\right)}{16a-15}=256a^{2}-240a-225+\frac{11055}{16a-15}[/tex]
и нататък е ясно.
Използвах, че при делението на полином [tex]P\left(x\right)[/tex] от степен [tex]n[/tex] с полином [tex]Q\left(x\right)[/tex] от степен [tex]m[/tex], полиномът-частно [tex]H\left(x\right)[/tex] има степен [tex]n-m[/tex], а полиномът-остатък [tex]R\left(x\right)[/tex] има степен най-много [tex]m-1[/tex] и нататък продължих по метода на неопределените коефициенти.
Намерих и друг начин.
Нека [tex]x+y=f[/tex]. Решаваме уравнението [tex]8\left(x^{3}+x^{2}\left(f-x\right)+x\left(f-x\right)^{2}+\left(f-x\right)^{3}\right)=15\left(x^{2}+x\left(f-x\right)+\left(f-x\right)^{2}+1\right)[/tex] като квадратно относно [tex]x[/tex] и получаваме [tex]D=-256f^{4}+960f^{3}-675f^{2}+960f-900[/tex], която трябва да е положителна, за да имаме реални корени. Разлага се до [tex]-\left(16f-15\right)\left(16f^{3}-45f^{2}-60\right)[/tex] и така имаме неравенството [tex]\left(16f-15\right)\left(16f^{3}-45f^{2}-60\right)\le 0[/tex]. Ако [tex]16f-15\le 0[/tex], забелязваме, че [tex]16f^{3}-45f^{2}-60\le 0[/tex], следователно [tex]f\ge 1[/tex]. Така [tex]16f^{3}-45f^{2}-60\le 0[/tex]. Записваме последното във вида [tex]f^{2}\left(16f-45\right)\le 60[/tex] и забелязваме, че при [tex]f=4[/tex] не е вярно, а при [tex]f=3[/tex] е вярно, следователно [tex]f\le 3[/tex]. Трябва да проверим за [tex]f[/tex] стойностите [tex]1,2,3[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Oct 17, 2008 7:37 pm    Заглавие:

MM написа:


Намерих и друг начин.
Нека [tex]x+y=f[/tex]. Решаваме уравнението [tex]8\left(x^{3}+x^{2}\left(f-x\right)+x\left(f-x\right)^{2}+\left(f-x\right)^{3}\right)=15\left(x^{2}+x\left(f-x\right)+\left(f-x\right)^{2}+1\right)[/tex] като квадратно относно [tex]x[/tex] и получаваме [tex]D=-256f^{4}+960f^{3}-675f^{2}+960f-900[/tex], която трябва да е положителна, за да имаме реални корени. Разлага се до [tex]-\left(16f-15\right)\left(16f^{3}-45f^{2}-60\right)[/tex] и така имаме неравенството [tex]\left(16f-15\right)\left(16f^{3}-45f^{2}-60\right)\le 0[/tex]. Ако [tex]16f-15\le 0[/tex], забелязваме, че [tex]16f^{3}-45f^{2}-60\le 0[/tex], следователно [tex]f\ge 1[/tex]. Така [tex]16f^{3}-45f^{2}-60\le 0[/tex]. Записваме последното във вида [tex]f^{2}\left(16f-45\right)\le 60[/tex] и забелязваме, че при [tex]f=4[/tex] не е вярно, а при [tex]f=3[/tex] е вярно, следователно [tex]f\le 3[/tex]. Трябва да проверим за [tex]f[/tex] стойностите [tex]1,2,3[/tex].
И как ще ги провериш тези стойности като [tex]x,y[/tex] - цели. Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.