Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
marto_mn Редовен
Регистриран на: 03 Dec 2006 Мнения: 107
гласове: 15
|
Пуснато на: Tue May 15, 2007 7:36 pm Заглавие: Уравнение в цели числа |
|
|
8x3 + 8x2y +8xy2+8y3=15(x2+y2+xy+1)
Да се реши в цели числа!!! |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Who_cares123456 Редовен
Регистриран на: 14 Apr 2007 Мнения: 163
гласове: 20
|
|
Върнете се в началото |
|
|
marto_mn Редовен
Регистриран на: 03 Dec 2006 Мнения: 107
гласове: 15
|
Пуснато на: Wed May 16, 2007 8:51 am Заглавие: |
|
|
За съжалемие и аз пробвам същото полагане , но без резултат |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Wed May 16, 2007 3:04 pm Заглавие: |
|
|
Умножаваме по (x-y) и двете страни на уравнението и получаваме, че:
8(x4-y4)=15(x-y)+15(x3+y3), последното уравнение е еквивалентно на 8x4-15x3-15x=8y4-15y3-15y.
Следователно трябва да намерим цели числа m и n, за които е изпълнено
f(m)=f(n), където f(x)=8x4-15x3-15x.
Сега изследваме функцията. f(x) има два корена 0 и r (2<r<3) и f(x)≥0. Също така и f(x) е монотонно растяща за x≥r. Следователно, ако m≥3,
f(m)=f(x) => x<0. Тогава решениятя, ако съществуват такива, трябва да принадлежат на интервалa [0,r] - което е подинтервал на [0,3).
Следователно m и n може да са само измежду числата 0,1,2.
Проверяваме кои вършат работа и установяваме, че единствено (1,2) и (2,1) са решения на уравнението.
Последната промяна е направена от Titu_Andrescu на Wed May 16, 2007 3:59 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Wed May 16, 2007 3:10 pm Заглавие: |
|
|
Titu_Andrescu написа: | 8(x4+y4)=15(x-y)+15(x3+y3), |
тук имаш малка техническа грешка - трябва да е 8(x4-y4)=... |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Wed May 16, 2007 3:58 pm Заглавие: |
|
|
Да прав си. Поправих го. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Saposto_MM Напреднал
Регистриран на: 02 Apr 2007 Мнения: 383 Местожителство: Панагюрище гласове: 67
|
Пуснато на: Sun Oct 12, 2008 8:13 pm Заглавие: |
|
|
С полагането [tex]x+y=a[/tex] и [tex]xy=b[/tex], може да се реши!
Става
[tex]512b=\frac{512\left(8a^{3}-15a^{2}-15\right)}{16a-15}=256a^{2}-240a-225+\frac{11055}{16a-15}[/tex]
и нататък е ясно.
Използвах, че при делението на полином [tex]P\left(x\right)[/tex] от степен [tex]n[/tex] с полином [tex]Q\left(x\right)[/tex] от степен [tex]m[/tex], полиномът-частно [tex]H\left(x\right)[/tex] има степен [tex]n-m[/tex], а полиномът-остатък [tex]R\left(x\right)[/tex] има степен най-много [tex]m-1[/tex] и нататък продължих по метода на неопределените коефициенти.
Намерих и друг начин.
Нека [tex]x+y=f[/tex]. Решаваме уравнението [tex]8\left(x^{3}+x^{2}\left(f-x\right)+x\left(f-x\right)^{2}+\left(f-x\right)^{3}\right)=15\left(x^{2}+x\left(f-x\right)+\left(f-x\right)^{2}+1\right)[/tex] като квадратно относно [tex]x[/tex] и получаваме [tex]D=-256f^{4}+960f^{3}-675f^{2}+960f-900[/tex], която трябва да е положителна, за да имаме реални корени. Разлага се до [tex]-\left(16f-15\right)\left(16f^{3}-45f^{2}-60\right)[/tex] и така имаме неравенството [tex]\left(16f-15\right)\left(16f^{3}-45f^{2}-60\right)\le 0[/tex]. Ако [tex]16f-15\le 0[/tex], забелязваме, че [tex]16f^{3}-45f^{2}-60\le 0[/tex], следователно [tex]f\ge 1[/tex]. Така [tex]16f^{3}-45f^{2}-60\le 0[/tex]. Записваме последното във вида [tex]f^{2}\left(16f-45\right)\le 60[/tex] и забелязваме, че при [tex]f=4[/tex] не е вярно, а при [tex]f=3[/tex] е вярно, следователно [tex]f\le 3[/tex]. Трябва да проверим за [tex]f[/tex] стойностите [tex]1,2,3[/tex]. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Пафнутий VIP
Регистриран на: 04 Mar 2008 Мнения: 1199
гласове: 54
|
Пуснато на: Fri Oct 17, 2008 7:37 pm Заглавие: |
|
|
MM написа: |
Намерих и друг начин.
Нека [tex]x+y=f[/tex]. Решаваме уравнението [tex]8\left(x^{3}+x^{2}\left(f-x\right)+x\left(f-x\right)^{2}+\left(f-x\right)^{3}\right)=15\left(x^{2}+x\left(f-x\right)+\left(f-x\right)^{2}+1\right)[/tex] като квадратно относно [tex]x[/tex] и получаваме [tex]D=-256f^{4}+960f^{3}-675f^{2}+960f-900[/tex], която трябва да е положителна, за да имаме реални корени. Разлага се до [tex]-\left(16f-15\right)\left(16f^{3}-45f^{2}-60\right)[/tex] и така имаме неравенството [tex]\left(16f-15\right)\left(16f^{3}-45f^{2}-60\right)\le 0[/tex]. Ако [tex]16f-15\le 0[/tex], забелязваме, че [tex]16f^{3}-45f^{2}-60\le 0[/tex], следователно [tex]f\ge 1[/tex]. Така [tex]16f^{3}-45f^{2}-60\le 0[/tex]. Записваме последното във вида [tex]f^{2}\left(16f-45\right)\le 60[/tex] и забелязваме, че при [tex]f=4[/tex] не е вярно, а при [tex]f=3[/tex] е вярно, следователно [tex]f\le 3[/tex]. Трябва да проверим за [tex]f[/tex] стойностите [tex]1,2,3[/tex]. | И как ще ги провериш тези стойности като [tex]x,y[/tex] - цели. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|