10зад. от Примерна Тема СУ

DevilFighter

За кои стойности на параметъра а системата

|sinpx = 0
|(2x + 14a² - 7)*(4x - 4a² - 15) ≤ 0

има единствено решение?

От горното ур-е => x = k , k = 0,±1,±2,... значи х трябва да е цяло число.Долното уравнение е едно квадратно уравнение за което имаме х Е [x₁ ; x₂] . Някакви идеи ???

Реклама

Methuselah · Пуснато на: Tue May 15, 2007 6:58 pm Заглавие:

Еми ти го каза почти... трябва интервалът от решения на (2) да съдържа само едно цяло число.

DevilFighter · Пуснато на: Tue May 15, 2007 7:03 pm Заглавие:

Да, това е ясно , но все пак не мога да се справя със задачата. Ако x₁ = (7/2)*(1-2a²) , x₂ = a² + 15/4 , то x₂ > x₁ и x₂ винаги е по-голямо от 0 за всяко а. Хайде дайте някакви идеи за по-нататък...

HeypaBHobeceH · Пуснато на: Tue May 15, 2007 7:24 pm Заглавие:

x1= 3,5- 7a² a x2= 3,25 +a² . колкото повече увеличаваме а, толкова по-голяма става разликата м-у х1 и х2, . вижда се, че при почти еднакви числени стойности (3,25 и 3,5), -7а² ще намалява повече от а² с увеличаване на стойностите за а => цялото число х ще е 3. от там пробвам за х1 =2 и х1=3 стойностите за да видя интервала нужен за да имаме само 1 цело число м/у х1 и х2, и излиза че а² Е (1/14;3/14)

HeypaBHobeceH · Пуснато на: Tue May 15, 2007 7:33 pm Заглавие:

малко не блести от логика но...
май с графики на х1 и х2, като а² заменим с t (t>0) примерно, ще излезнат по ясни нещата.

Methuselah · Пуснато на: Tue May 15, 2007 7:36 pm Заглавие:

И аз това получавам че а Е ( -sqrt(3/14) ; -sqrt(1/14) ) U ( sqrt(1/14) ; sqrt(3/14) )
След малко ще запиша и обосновка...

Methuselah · Пуснато на: Tue May 15, 2007 7:52 pm Заглавие:

Намерили сме че х1=-(7/2)*(2а²-1) и х2=а²+15/4
х1<14/4 и х2>15/4 и за а Е (0;+оо ) функциите са монотонни. Т.е. интервалът от решения на неравенството се разширява от 15/4 надясно и от 14/4 наляво.
Тогава имаме само два кандидата целочислени решения а именно 3 и 4. За да достигне интервалът числото 4 е необходимо х2≥4 или |а|≥1/2 .
Вижда се че за тези стойности на а х1 ≤ 7/4 т.е. имаме и други целочислени решения. С това отхвърляме 4 като решение и остава само 3.
Трябва да решим системата:
|x1>2
|x1<3
|x2<4
и получаваме а Е ( -sqrt(3/14) ; -sqrt(1/14) ) U ( sqrt(1/14) ; sqrt(3/14) )

DevilFighter · Пуснато на: Tue May 15, 2007 8:40 pm Заглавие:

Според мен десния край на пръвия и левия край на втория интервал могат да се затворят. Благодаря много !

Methuselah · Пуснато на: Tue May 15, 2007 8:56 pm Заглавие:

Да трябва да са затворени. Ако в (2) беше строго по-малко трябва да остане отворен