3 купчини

[r2d2]

Имаме 3 купчини от камъни. Първата с 5 , втората с 49, третата с 51.
На всеки ход можем:
1. Да съберем камъните от две купчини
2. Ако купчина има четен брой камъни, да я разделим на 2 равни купчини.

Можем ли да разделим камъните на 105 купчини от по един камък?

[Реклама]

[martosss]

е ми така помислих и според мен не може... първо, че вариантите са малко - 3 на брой- да смесим (1 и 2-ра), (2 и 3-та) и (1-ва и 3-та). Както и да постъпим винаги се оформат купчинки с много на брой нечетни числа, които не могат да се разложат... аз го докарах до 3 повече не става. Получават се петици, тройки или седмици в зависимост от варианта. Може да се получи ако бяха 7, 51 и 49, ама точно по това разпределение според мен не може

[r2d2]

Хаиде, помъчи се да го докажеш!

[martosss]

добре, значи ако получим четно число винаги трябва да го разложим и да събираме само различни по брой камъни купчинки.
вариантите са 3:
1 смесваме купчинката с 5 и с 49 и получаваме 54=2*27 - 27, 27, 51
смесваме 27 с 51 и получаваме 78=2*39 - 39, 39, 27
смесваме 39 с другото 27 и получаваме 66=2*33 - 33, 33, 39
смесваме 33 с 33 и става 72=2*36=4*18=8*9 - 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9 33
смесваме 9 с 33 и става 42=2*21 - 21, 21, 7*9
смесваме 2*21 с 2*9 и става 2*30=4*15 - 4*15, 5*9
смесваме 4*15 с 4*9 и става 4*24=8*12=16*6=32*3 - 32*3, 9
смесваме 9 с 3 и става 12=4*3 - 35*3 което е неразложимо
2.смесваме 51 с 49 и става 100=2*50=4*25 - 25, 25, 25, 25, 5...
3. смесваме 51 с 5 и получаваме...
в крайна сметка стават само n на брой еднакви числа, които са неразложими.
Така действаме и за другите случаи, не ми се пише...

[r2d2]

Схванал си идеята, но не можеш да я реализираш напълно
Решение:
Нека в определен момент броят на камъните се дели на просто число р различно от две.
И двете операции (делене на 2) или събиране на две купчини не променят това свойство на купчинките (това наричаме инвариант).
В началната ситуация имаме 3 възможности:
1. Събираме 5+49, получаваме купчини от 54 и 51 - общ делител 3
2. Събираме 5+51, получаваме купчини от 56 и 49 - общ делител 7
3. Събираме 49+51, получаваме купчини от 5 и 100 - общ делител 5.

Успехи!

[Methuselah]

Изобщо могат ли да се получат по този начин нечетен брой купчини от по 1 камък?

[r2d2]

Meth, не разбрах какво попита?

martosss ако тази задача ти е харесала, ето ти подобна:
На дъската са написани 110 знака + и 15 знака -.
Можеш да триеш два знака и да ги заменяш по правилото:
Ако си изтрил два еднакви (+,+) или (-,-) пишеш +
Ако си изтрил различни, пишеш -.
Какъв знак остава последен?
Какъв е отговорът при а знака + и b знака -?

[Methuselah]

Аз съм в грешка нещо...

[martosss]

e ми за първото имаш, че ще се съкращават по 15 плюса постоянно, ако заместим + и - със -, то се едно изтриваме само минуса, тоест след 7 пъти по 15 замествания на + и - със - ще получим 5 плюс и 15 минуса... още 5 замествания и получаваме 20 минуса... 10 плюса.... 5 минуса... 2 плюса и 1 минус...плюс и минус... минус минус накрая... ако са а плюса и б минуса, то след б съкращения ще получим а+б минуса, ако това е число, което може да се представи като 2 на ента степен, то ще се получи знак +, а иначе минус предполагам