Помощ за поредната функция pls

[HeypaBHobeceH]

F(x)=x⁴ - 6x² + 12x -6

a) Дoкажете че F(x) има единствен локален екстремум .
б) Докажете че F(x) > 0 за всяко x≥1
в) Докажете че уравнението F(x)=0 има точно 2 различни корена.

[Реклама]

[HeypaBHobeceH]

една бира от мен за решението

[Methuselah]

Смятаме първа производна:
f'(x)=4(x³-3x+3)
Ще докажем че тя има един корен т.е. f(x) има един локален екстремум.
f''(x)=12(x²-1) т.е. локални екстремуми на функцията f'(x) имаме за х=-1 и х=1
За х Е (-оо;-1) и х Е (1;+оо) f'(х) расте, а за х Е (-1;1) намалява.
Значи за х=-1 - максимум ; за х=1 - минимум.
Знаем, че lim_x->-oof(x)=-oo i lim_x->+oof(x)=+oo
Пресмятаме f'(1)=4 > 0 от където виждаме че f'(х) има само един корен х₀ който е по-малък от -1.

Като знаем че f'(х)>0 за х Е (х₀,+оо) и х₀<-1 значи за интервала х Е (1;+оо) f(х) расте.
Тогава е достатъчно да пресметнем f(1)=1>0 с което доказваме че f'(х) > 0 за всяко х≥1.

Тъй като сме разбрали че f(х) намалява в (-оо;х₀) и расте в (х₀,+оо) и lim_x->±oof(x)=+oo тогава е достатъчно да открием една точка от фунцкията която е отрицателна за да имаме 2 корена.
Пресмятаме f(-1)=-23<0 с което доказваме двата корена.


П.С. бирата е добра мотивация!

[uktc]

a)
lim_x->±inff(x)=+inf
Лесно се съобразява, че f(x) винаги има поне 1 екстремум.
За да има повече от 1 екстремум, трябва кривината да се сменя на поне на 1 място, т.е. f''(x) да има поне един корен. Намери f''(x), докажи, че дискриминантата и е отрицателна и си готов.
П.П. Methuselah, много си бърз

[Methuselah]

uktc , грешиш.
Както се вижда ф''(х) си има два корена но ф'(х) все пак си има един.

[uktc]

Е греша естествено, като се правя на умник...

[HeypaBHobeceH]

мерси за решението!

П.П. деиствително бирата е мощна мотивация!
Methuselah aко искаш ми пиши на ЛС, да се видим след изпита в неделя в СУ (в който предполагам че ще вземеш участие) да пием по бира и да обсъдим как е минало, пък и да се издължа