СУ, зад.10

[uktc]

Това е било 10-та задача в някаква примерна тема за СУ.
Идеи?

[Реклама]

[Methuselah]

Нека F(x)=f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
F(x) e непрекъсната в (а;b) като разлика от произведения на непрекъснати функции.
И тъй като е непрекъсната и не се нулира в (а;b) то тя не си сменя и знака.
Нека два последователни корена на f(x)=0 са x0 и x1.
F(x0) = f'(x0)g(x0) - 0 = f'(x0)g(x0)
F(x1) = f'(x1)g(x1)

f(x) няма двойни корени, иначе щеше да е изпълнено F(x)=0.
Тогава графиката на f(x) не допира а пресича Ох в точките х0 и х1 като един път расте а другия път намалява. От тук следва че f'(x0) е с различен знак от f'(x1).
И тъй като f'(x0)g(x0) трябва да е с еднакъв знак като f'(x1)g(x1) то g(x0) е с различен знак от g(x1) т.е. g(x) има корен в интервала (х0;х1)
Ta-daaa!

[uktc]

Евала!

[r2d2]

Dopuskame 4e g(x)>0 za wsqko x ot (a,b).
Togava f(x)/g(x) e neprekusnata i diferenciruema i h(x)=(f(x)/g(x))' ima postoqnen znak. Tq ili e rastq6ta ili namalqva6ta w (a,b). No tova ne e vyzmozhno zastoto h(x) ima 2 nuli.

[Methuselah]

дааам... трябваше f'(x)g(x) - f(x)g'(x) да ме подсети за това яд ме е.