Параметър

[Tony_89]

За кои стойности на a неравенството

log_a(a^x + 1) + 1/log_(a^x-1)(a) ≤ x - 1 + log_a(a² - 1)

е изпълнено за всяко x E (0 ; 1]

Като ДС получавам:

|x E (0 ; 1]
|a > 1
|a^x ≠ 2

След като преобразувах самото неравенство, получих:

a^x ≤ a

Тъй като x E (0 ; 1] , а^x E (1 ; а].

Т.е. това ли е окончателното решение:

|a E (1 ; +∞)
|a ≠ 2ⁿ при n E N

[Реклама]

[uktc]

Как получи a^х ≤ a ?
Аз нещо не можах. Но приемам, че се получава както ти казваш.

Иначе идеята ми е следната.
a^х ≠ 2
x≠log_a2.
При x=log_a2, неравенството няма смисъл.
Но ние искаме неравенството да е изпълнено за ВСЯКО x от (0;1]. Необходимо, макар и недостатъчно условие за това е, неравенството да има смисъл за всяко x от (0;1]. Значи трябва да "изхвърлим" числото log_a2 от този интервал, т.е.
log_a2≤0 или log_a2>1,
откъдето a<2. Сега от a>1, получавам отговор a E (1;2).
Ако обичаш, напиши подробно как получи a^х ≤ a, че аз нещо съм забозил...

[Tony_89]

log_a(a^x + 1) + 1/log_(a^x-1)(a) ≤ x - 1 + log_a(a² - 1)

log_a(a^x + 1) + log_a(a^x - 1) ≤ x - 1 + log_a(a² - 1)

log_a(a^2*x - 1) ≤ log_a(a^x-1) + log_a(a² - 1)

log_a(a^2*x - 1) ≤ log_a(a*a^x - a^x/a)

a > 1 =>

a^2*x - 1 ≤ a*a^x - a^x/a /*a

a*a^2*x - a ≤ a²*a^x - a^x

a*a^2*x - a²*a^x - a + a^x ≤ 0

a*a^x*(a^x - a) + (a^x - a) ≤ 0

(a^x - a)*(a*a^x + 1) ≤ 0

a*a^x + 1 > 0 =>

=> a^x ≤ a

А за идеята ти, не знам, аз проверих с 3 и се оказа, че е решение.

[uktc]

10х.
Е как така 3 ще е решение?
Замести с а=3 в най-началното неравенство и виж какво става при x=log₃2. Неравенството няма смисъл. При това няма смисъл за число, което е от интервала (0;1] (имам предвид log₃2).
=> a=3 не става.

[Tony_89]

Да разбрах те, еми забравил съм този случай 10х

Значи си прав за решението, то е а Е (1 ; 2)

[uktc]

Не ме разбра.
Имам предвид в самото начало да заместиш.
При а=3 и x=log₃2, основата на логаритъма, който е в знаменателя на второто събираемо, става 1.

[uktc]

Значи май остава a E (1;2).
Отговор нямаш, нали?

[Tony_89]

Скоро ще имам