повърхнинни интеграли

[ivkata2004]

Пресметнете

[tex]\int_{S}^{}\int_{}^{}xd\sigma[/tex]

[tex]S^2+y^2+z^2=r^2[/tex]

[tex]x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0[/tex]


[tex]\int_{S}^{}\int_{}^{}(y-z)dydz+(z-x)dxdz+(x-y)dxdy[/tex]

S е външната страна на конуса

[tex]z=\sqrt{x^2+y^2}[/tex]

[tex]0\le z\le h[/tex]

[Реклама]

[Infernum]

Повърхнинни интеграли могат да се пресмятат по много начини. Един от тях е следният.
Интегралът

[tex]\int_{S}^{}\int_{}^{}xd\sigma[/tex]

е повърхнинен integral от първи род. Трябва да се интегрира скаларната функция

[tex]f(x,y,z)=x[/tex]

върху повърхнината на сферата

[tex]S^2+y^2+z^2=r^2[/tex],

лежаща в първи октант [tex]x\ge 0[/tex], [tex]y\ge 0[/tex], [tex]z\ge 0[/tex].
Лицевият елемент [tex]d\sigma[/tex] на интеграционната повърхнина [tex]S[/tex] е равен на големината на нормалния вектор към повърхнината, в произволна точка от нея. Тъй като сферата се описва най-лесно в сферични координати, интеграционната повърхнина може да се представи чрез своя радиус вектор, спрямо базата определена от единичните и взаимно ортогонални вектори
[tex]\vec{i}[/tex] [tex]\vec{j}[/tex] [tex]\vec{k}[/tex]
по следния начин:

[tex]\vec{r}(u,v)=(r cos u sin v)\vec{i}+(r sin u sin v)\vec{j}+(r cos v)\vec{k}[/tex]

[tex]0\le u \le \frac{\pi }{2}[/tex]
[tex]0\le v \le \frac{\pi }{2}[/tex]

Tогава за лицевият елемент се записва

[tex]d \sigma=|d \vec{\sigma}|=|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}d u \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}d v|=|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v}|dudv[/tex]

Пресмятат се последователно

[tex]\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}=(-r sin u sin v)\vec{i}+(r cos u sin v)\vec{j}+0\vec{k}[/tex]

[tex]\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}=(r cos u cos v)\vec{i}+(r sin u cos v)\vec{j}+(-r sin v)\vec{k}[/tex]

[tex]\frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v}=(-r^2 cos u sin^2 v)\vec{i}+(-r^2 sin u sin^2 v)\vec{j}+(-r^2 sin^2 u sin v cos v-r^2cos^2 u sin v cos v)\vec{k}[/tex].

Tогава

[tex]d\sigma=\sqrt{r^4sin^4 v +r^4sin^2v cos^2v}dudv=r^2|sin v|dudv[/tex].

Tогава

[tex]\int_{S}^{}\int_{}^{}xd\sigma=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}r cos u sin v r^2 |sin v| dudv=r^3\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^2vdv\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos udu=r^3\frac{\pi }{4}[/tex]

[Infernum]

Интегралът

[tex]\int_{S}^{} \int_{}^{}(y-z)dydz+(z-x)dxdz+(x-y)dxdy[/tex]

е повърхнинен интеграл от втори род. Трябва да се интегрира векторната функция

[tex]\vec{F}(x,y,z)=(y-z)\vec{i} +(z-x)\vec{j} +(x-y)\vec{k}[/tex]

върху външната страна на повърхнината на конуса

[tex]S:[/tex]
[tex]z=\sqrt{x^2+y^2}[/tex]
[tex]0\le z\le h.[/tex]

За този интеграл е удобно да се приложи формулата на Cтокс, която дава връзка между повърхнинен интеграл от втори род и криволинеен интеграл от втори род.
Подинтегралният израз е скаларното произведение от функцията, която се интегрира и нормалния вектор, определящ ориентацията на повърхнината.

Съгласно формулата на Стокс

[tex]\int_{S}^{}\int_{}^{}\vec{F}\vec{d\sigma}=\int_{L}^{}rot \vec{F}\vec{dl}[/tex]

където [tex]L[/tex] е положително ориентирана крива линия обхващаща интеграционната повърхнина [tex]S[/tex], в случай че последната е също положително ориентирана.

В конкретния пример, кривата линия обхващаща повърхнината на конуса
[tex]S[/tex] ще бъде окръжността

[tex]L:[/tex]
[tex]x^2+y^2=h[/tex]
[tex]z=h[/tex]

тъй като [tex]0\le z\le h.[/tex]
Остава да се пресметне ротора на вектора

[tex]\vec{F}(x,y,z)=(y-z)\vec{i} +(z-x)\vec{j} +(x-y)\vec{k}[/tex]

и допирателния вектор [tex]\vec{dl}[/tex] към окръжността [tex]L[/tex], определящ посоката на обхождане.

[tex]rot \vec{F}=\nabla \times \vec{F}=(\frac{\partial(x-y)}{\partial y}-\frac{\partial(z-x)}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial(x-y)}{\partial x}-\frac{\partial(y-z)}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial(z-x)}{\partial x}-\frac{\partial(y-z)}{\partial y})\vec{k}=-2(\vec{i} +\vec{j} +\vec{k})[/tex]

[tex]\vec{dl}=dx\vec{i}+dy\vec{j}+dz\vec{k}[/tex]

Параметричното уравнение на окръжността [tex]L[/tex] e

[tex]x=h cos t[/tex]
[tex]y=h sin t[/tex]
[tex]z=h[/tex]
[tex]0\le t\le 2\pi [/tex]

Тогава

[tex]\vec{dl}=dx\vec{i}+dy\vec{j}+dz\vec{k}=-h sin t dt\vec{i}+h cos t dt\vec{j}+0 dt\vec{k}=[/tex]

[tex]rot \vec{F}\vec{dl}=-2(\vec{i} +\vec{j} +\vec{k})(-h sin t \vec{i}+h cos t \vec{j}+0\vec{k})dt=2h(sin t - cos t)dt[/tex]

Следователно

[tex]\int_{S}^{}\int_{}^{}\vec{F}d\vec{\sigma}=\int_{L}^{}rot \vec{F}\vec{dl}=\int_{0}^{2\pi }2h(sin t - cos t)dt=0[/tex]

[Infernum]

Между другото интегралът

[tex]\int_{}\int_{S}(y-z)d y d z + (z-x)d x d z+(x-y)d x d y[/tex]

се пресмята още по-просто с формулата Гаус-Остроградски.

[tex]\int_{}\int_{S}(y-z)d y d z + (z-x)d x d z+(x-y)d x d y=\int_{}\int_{}\int_{T}\frac{\partial(y-z)}{\partial x}+\frac{\partial(z-x)}{\partial y}+\frac{\partial(x-y)}{\partial z}dxdydz=0[/tex]

областта T, в случая, е областта ограничена от повърхнината S.