Канонично уравнение на елипса

[Relinquishmentor]

Покажете, че каноничното уравнение на елипса спрямо координатна система с абсциса, лежаща на голямата ос и ордината, разполовяваща фокусното разстояние, има вида:

x²/a² + y²/b² = 1,

където a e голямата, а b - малката полуоси.

[Реклама]

[Infernum]

Намери геометричното място на точки, за които сумата от разстоянията им до две фиксирани точки е постоянна величина по-голяма от междуфокусното разстояние.

[Relinquishmentor]

[Volen Siderov]

Блгодаря на Инфернум,който за пореден с точен съвет попълни дупка в знанията ми .Та следваики съвета му правя така:Разглеждам коорд. с-ма с център О средата на разт.м/у двете точки и абциса по отсечката(с дължина 2f) от 2-те точки.Радиусита на елипсата са съответно a и b.За точките М(а,0) и Н(0,b) е валидно че 2a=2(b^2+f^2)^1/2=const т.е. a^2=b^2+f^2 .А у-то на елипсата се определя от текуща т.М(x,y) и условиетоy^2+(x-f)^2)^1/2 + (y^2+(x+f)^2)^1/2=const=2a .След преобразуване и заместване с f от горе се получава у-то на елипса.
Искам да попитам дали няма и друго някакво еквивалентно определение на елипса или е само даденото от Инфернум.
Тук си спомням за задачата на Инфернум за у-то на равнина сечаща елипсоид на най-голям(малък) обем.Сега искам първо да реша следната задача: През точка вътрешна за елипса да се намери у-то на права разделяща елипсата на фигури с екстремално лице.Товаа ме накара да търся у-то за лице на елипса по дадено у-ие на кривата.То се оказа подобно на търсене на лице на окръжност по у-то на кривата.
x^2+y^2=R^2 ако търсим само лицето за y>=0 това води до интегралс
S/2=int(-a;a)ot(R^2-x^2)^1/2 dx интересно дали този интеграл се решава директно?Или е доказано невъзможно?Иначе чрез полагане y=Rsint x=Rcost интеграла се решава чрез мисля че се казваше интегиране по части и използване на рекурентна зависимост.За лице на елипса е почти същото и се получава S=abп.От тук нататък започва и същинското решение на задачата,което се надявам скоро да постигна

[Infernum]

По принцип всяко неизродено конично сечение може да се разглежда като геометрично място на точки, за които отношението на разстоянията до една фиксирана точка и до една фиксирана права е постоянна величина. Тази величина се нарича ексцентрицитет на коничното сечение и в зависимост от неговата стойност, коничните сечения биват хиперболи, параболи или елипси.
И така.
Нека е фиксирана една равнинна декартова координатна система K:Oxy. Произволна точка М с координати (x, y), спрямо K, отстои на разстояние ОМ = √(x² + y²) от началото О и на разстояние МD = |d - x| от правата x = d. Съгласно дефиницията, произволната точка М ще лежи на коничното сечение, ако удовлетворява отношението OM/МD = const = e > 0, където "е" е ексцентрицитета. Това отношение може да се запише във вида:

√(x² + y²) = е|d - x|

Като се повдигне в квадрат и се групира по степените на х и у, се получава уравнението

x²(1 - e²) + y² + 2de²x - e²d² = 0.

При 0< e < 1, горното може да се запише във вида

(x + de²/(1 - е²))²/a² + y²/b² = 1,

където

а² = е²d²/(1 - e²)²,

b² = е²d²/(1 - e²),

Последното уравнение относно х и у, очевидно е уравнение на елипса. С транслация на координатната система K:Oxy, посредством смяната

X = x + de²/(1 - е²)
Y = y,

лесно се получава каноничното уравнение

X²/a² + Y²/b² = 1

на елипсата, относно координатната система K':O'XY.

[Volen Siderov]

Много благодаря за разясненията.Ако може напиши и у-та за другите сечения.Аз обаче забелязах нещо интересно.Ако у-то на елипса в коор. с-ма Oxy
x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 се представи в вида x^2 + (ya/b)^2 =a^2 то се получава у-то на окръжност X^2 + Y^2 =a^2 построено в коорд. с-ма OXY кадето важат трансформациите X=x и Y=ya/b .Излиза че елипсата е сплесната окръжност при прехода от едната в дригата коорд. с-ма с радиус а и коеф. по y a/b . T.e. размерите и коорд. по x се запазват,по y се променят a/b пъти,а tg на ъглите на произволни точки към коорд. начало се променят също a/b пъти.В тази светлина то търсеното у-е на правата деляща екстрем. елипсата ще има първообраз в такава права деляща екстрем окръжността X^2 + Y^2 =a^2 .Елементарно се доказва,че това е права перпен. на радиуса през първообраза M(X0,Y0)=M(x0,y0a/b) на точката m(x0,y0).Сега е достатъчно само да намерим коор. на точката N(X1,0)=n(x1,0) обща и за двете коорд. с-ми.Разглеждаме правоъг. триъг. OMN и ъгъла при т.О k и външния ъгъл при т.N p. У-то на правата е
(0-Y0)/(X1-X0)=tgp=tg(90+k)=-1/tgk=-X0/Y0
намираме X1=x1 в коорд. с-ма Oxy
-(y0a/b)/(x1-x0)=-x0/(y0a/b)
x1=((y0a/b)^2 +x0^2)/x0
окончателно търсеното уравнение на правата по двете точки m(x0,y0) , n(x1,0) ще бъде:
(y-y0)/(x-x0)=(0-y0)/(x1-x0)=-(x0/y0)(b/a)^2
Накрая искам да кажа,че този метод се нуждае от доказателство за това че отношенията на лицата на фигурите при трансформацията се запазва.

[Volen Siderov]

Впрочем това ако е вярно сигурно е елементарен вид на метода с линейните оператори и трансформации за които говорехте във темата със задачата.В случая можеше да се извърши и трансформация X=x/a Y=y/b.Дали не може при решаване на много геометр. задачи да се използва подходяща трансф.?Много интересно какво би се получило при трансформация която да не е линейна Y=ky+c ами някаква друга?Дали така не могат да се получат всички криви от равнината?

[Infernum]

[Volen Siderov]

Благодаря за разяснението.Би ли се съгласил да ми изясниш малко повече въпроса с формулировката на 3те криви,като конични сечения?Защо точно конични сечения(какво му е специалното на коничното сечение,а не някакво друго сечение)?Защо кривите се определят чрез ексентр.?Ти доказваш че тези криви са такива,че да удовлетворяват условието за наличие на ексцентритет,но това някаква фундаментална необходимост ли е или просто случайност.

[Infernum]