логаритми, натурални логаритми, история

[tsn]

Много моля някой, който има познания и изпитва удоволствие да разказва, да ми помогне да разбера историята на възникване на логаритмите и въвеждане на числото 2,71 като основа на натуралния логаритъм. Защо това число е удобно на кого е удобно, за какво е удобно? Има ли връзка с развите на банкерството?

[Реклама]

[MuTaKa]

Логаритмите... са хубаво нещо

Логаритмите са в основата на компютърното програмиране. Това е връзката между степенуване и коренуване и по-простите действия събиране и изваждане. Степенуването се замества с логаритмуване, а коренуването съответно с антилогаритмуване. На този принцип работят и някои компютърни програми. Създателят на съвременния компютър (немецът с израелски произход Джон Нойман, а не българският физик Джон Атанасов, както се тиражира у нас) е използвал именно това заместване на сложни действия с по-прости. Самите логаритми като такива каквито ги познаваме днес са въведени от шотландеца Джон Непер. (колко Джоновци се събраха само, а))). Той ги е развил благодарение на това че е разполагал с трудове на Архимед, който е същинския баща на логаритмите. На базата на негови съчинения Непер е извлякъл познатите ни формули. То не знам и как са се казвали тия действия преди Непер да ги кръсти така, ма какво значеше точно логаритъм не се сещам... нещо с логос и ритмус беше, ма... Числото 2.71 е открито малко по-късно не от Джон Непер, а от един от братята Ойлер. Кръстено е Неперово в чест на Джон Непер, а не защото той е откривателя му. То Ойлер и за това го е обозначил с "е" (Ойлер се пише Euler)............ уффф... мързи ме сега, по-късно може да пиша още.. питай нещо конкретно за да ти отговоря. Ако въпроса е има ли нещо общо с банкирането - мисля че не.. все пак това е форум за математика, не за икономика, счетоводство и финанси... успех

[tsn]

Много благодаря за отговора!
Мисля, че не съм изяснила добре точно какво ме интересува. Ще опитам отново:
Логаритмуването е действие, при което се търси степенния показател на една степен (Нали?) Следователно за да извършим това действие е необходимо да знаем основата на степента (основата на логаритъма нали?) и резултата от степенуването(числото, което логаритмуваме, нали?). Логаритмуването дава възможност да се намали порядъка на действията: степенуването да се замени с умножение, умножението да се замени със събиране и т.н.(нали?) Например: (Моля, напиши ми подходящ пример)
А сега за банкерството: Мисля, че във формулата за сложна лихва периодът участва в степенния и показател. Ето защо за да решим задача от типа:"Колко време (год, мес, др.) е необходимо да останат Х лв. в банката, при У(год, мес, др.)лихва за да станат Z лв." ще ни се наложи да извършим действие логаритмуване. (нали?)
И накрая за 2,71 ...
Струваш ми се огегчен в отговора си.
Моля, пиши ми само когато ти е кеф.

[ChArOvNiKAa]

Здравейте аз съм нов член на форума! Имам затруднения с тези логаритми.........

http://img368.imageshack.us/my.php?image=zada4ivq6.jpg

може ли да ви помоля който може да реши някоя задача от тези да снима решението и да ми го прати! предварително Благодаря!

Знам ,че са лесни ама немога да се сетя какво правило да приложа

[mpowerm]

ами да ти кажа тези зада4и изглеждат лесни, ако имаш някакви въпроси можеш и знаеш къде да ме намериш

[mpowerm]

[ChArOvNiKAa]

[veliko]

1 проложение.
Ако начален капитал K е вложен при годишен лихвен процент p, то при непрекъснато олихвяване нарасналият капитал след n-тата година се пресмята по формулата :
K_n=K.e^(p.n/100), където е е неперовото число.
2.
aтмосферното налягане P,измерено в N/m² , намалява с нарастването на височината h. To се измерва по ф-лата :
P=P₀.e^{(-1,3.g.h)/p₀} ≈ 10⁵.e^-0,00013h,
където g e земното ускорение а P₀ ≈ 10⁵ N/m² e атмосферното налягане на морското равнище

[Kerry]

Нека a^b=c.
Когато b и c са известни и търсим а, се налага да извършим действието коренуване a=^b[tex]\sqrt{c}[/tex].
А когато a и c са известни и търсим b, се налага да извършим действието логаритмуване b=log_ac.
Естествено, ако търсим c ще извършим деиствието степенуване.

Защо тези математически действия се използват в банкерството?

Ако внесем в банката някаква сума S и годишния лихвен процент е p%, след една година сумата ще е S₁=S*(1+p/100).
През втората година се олихвява сумата S₁ и след две години сумата ще е S₂=S₁*(1+p/100)=S*(1+p/100)².
След b години сумата ще е S_b=S*(1+p/100)^b.
Изразът в скобите зависи само от годишния лихвен процент. Нека го наречем лихвен коефициент и го означим с a=1+p/100.
Ако означим със c съотношението на сумата след b години S_b към първоначално внесената сума S, c=S_b/S, получаваме:
c=a^b , т.е. при лихвен коефициент a, след b години сумата ще се увеличи c пъти.
Ако в дадена задача се пита при какъв лихвен процент (коефициент a), за b години сумата ще се увеличи c пъти, то тази задача се свежда до коренуване a=^b[tex]\sqrt{c}[/tex].
А ако се пита след колко години b, при даден лихвен процент (коефициент a) сумата ще се увеличи c пъти, то тази задача се свежда до логаритмуване b=log_ac.
Ако през времето на олихвяване са теглени или внасяни някакви суми ще се наложи да се решават по-сложни ирационални или логаритмични уравнения.

Как в математиката са се появили числото е и натуралните логаритми?

Да намерим производната на логаритмичната функция [tex]f(x)=log_{a}x[/tex]

[tex]f'(x)=lim_{\Delta x\to 0} \frac{log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}x}{\Delta x}=lim_{\Delta x\to 0} \frac{log_{a}\frac {x+\Delta x}{x}}{\Delta x}=[/tex]


[tex]=\frac{1}{x} lim_{\Delta x\to 0} log_{a}(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}}=\frac{1}{x} lim_{n\to\infty }log_{a}(1+\frac{1}{n})^n =[/tex]


[tex] =\frac{1}{x}log_{a}[lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n})^n][/tex], където [tex]n=\frac {x}{\Delta x}[/tex]


Чрез анализ на израза [tex](1+\frac{1}{n})^n[/tex] се доказва, че границата в средните скоби съществува (не е безкрайност) и е ирационално число между 2 и 3.
Да означим тази граница с буквата e, а логаритмите с основа е - ln и да ги наречем натурални логаритми.

За производната на логаритмичната функция [tex]f(x)=log_{a}x[/tex] получаваме

[tex]f'(x)=\frac{1}{x}log_a{e}=\frac{1}{x . ln (a)}[/tex]

Когато а=е намираме производната на функцията ln x.

[tex](ln x)'=\frac{1}{x}[/tex]. А след интегриране получаваме [tex]\int\frac{dx}{x}=ln(x)[/tex]

А сега да намерим производната на показателната функция [tex]f(x)=a^x[/tex]

[tex]ln(a)=[x.ln(a)]'=[ln(a^x)]'=\frac{(a^x)'}{a^x}[/tex]

[tex]f'(x)=(a^x)'=a^x.ln(a)[/tex]

При a=e получаваме [tex](e^x)'=e^x[/tex]. А след интегриране [tex]\int e^x dx=e^x[/tex]

Именно равенствата

[tex](ln x)'=\frac{1}{x}[/tex]

[tex]\int\frac{dx}{x}=ln(x)[/tex]

[tex](e^x)'=e^x[/tex]

[tex]\int e^x dx=e^x[/tex]

налагат толкова честото използване на числото е и натуралните логаритми.


Приблизително пресмятане на числото е

По-горе споменахме, че числото e е ирационално число между 2 и 3.
За по-точно приближение ще използваме разлагането на непрекъснатата и дифиренцируема при x=0 функция [tex]f(x)=e^x[/tex] в ред на Тейлор:

[tex]f(x)=f(0)+\frac{f'(0)x}{1!}+\frac{f''(0)x^2}{2!}+\frac{f'''(0)x^3}{3!}+.....[/tex]

[tex]f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=.....=1[/tex]

[tex]e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+.......[/tex]

При x=1 получаваме

[tex]e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+.......\approx2.718281828[/tex]

[voknid]

[Kerry]

Енциклопедиите... са хубаво нещо