Задачи от примерна тема за СУ

[Juventus]

1)

cosX.cos2X.cos3X=1

2)

корен трети от(x-2) + корен втори от(x+1) = 3


На пръв поглед изглеждат изключителни елементарни, но се оказа, че не ми бяха по силите

[Реклама]

[uktc]

За първата
cosX.cos2X.cos3X=1
cosx(2cos²x-1)(4cos³x-3cosx)=1
cos²x(2cos²x-1)(4cos²x-3)=1
Полагаш cos²x=c
...
8c³-10c+3c-1=0
Единствен корен е c=1
От тук cosx=±1
x=kп.

[uktc]

за втората:
Очевидно x=3 е решение.
Нека f(x)=³√(x-2)+√(x+1).
f '(x)=1/[3*³√(x-2)^2] + 1/[2√(x+1)]>0
=> x=3 е и единствено решение.

[zzz]

За втората
x=3 очевидно е решение, ако x>3 то ³√x-2>1 и √x+1>2 => ³√x-2+√x+1>3, аналогично ако x<3, то ³√x-2<1 и √x+1<2 => ³√x-2+√x+1<3 следователно единственият корен е x=3

[zzz]

Евала uktc! Сорка, батко, май ги пратихме едновременно

[uktc]

[Juventus]

Мерси много за решенията и бързата реакция.

[r2d2]

cosX.cos2X.cos3X=1

Имаме произведение на три числа, които по модул са <=1, т.е. всичките трябва да са по модул = 1.

Ако cosX=1, cos2X=2(cosX)^2-1=1, cos3x=cosX(4(cosx)^2-3)=1
Става!

Ако cosX=-1, cos2X=2(cosX)^2-1=1, cos3x=cosX(4(cosx)^2-3)=-1, пак става!

Отг: X=k*Pi

Коментар: Тъпа задача!

[martin_bg]

За 1-та се получава лесно при комбиниране на cosx*cos3x
Става (1/2)(cos4x + cos2x)*cos2x=1
Полагаш cos2x = t ( cos4x = 2*t*t -1 ) и се получава 2*t*t*t + t*t - t - 2 = 0 откъдето комбинираш 1-то с 4-то и 2-то с 3-то и изваждаш t-1 пред скоби и става (t-1)(2*t*t + 3*t+2) = 0 => t = 1 => cos2x=1 => x=k*pi

[crzy_jordan]

2 zadaca
f(x)=3√(x-2)+√(x+1).
от това x-2 e растяща функция и x+1 eрастяща функция в ДО
следва чеi f(x) e растяща функция
следва x=3 е единственото решение