Задачка за трапец и вписани окръжности.

[Charg3r]

Ето следната задачка:

"Да се докаже че,
ако в равнобедрения трапец ABCD e вписана окръжност и е построен диагоналът на трапеца, то окръжностите, вписани в получените триъгълници допират диагонала в една и съща точка."

Ако построим диагонала АС и означим допирната точка на една от окръжностите с диагонала с P, а другата с P' и докажем , че АР = АР' то бихме решили задачата...също така използваме че 2х=а+б от това че трапеца е равнобедрен. Мисля че задачата се свежда до това да изразим търсените отсечки от 2-та триъгълника поотделно и да докажем, че са равни като използваме теоремата ,че растоянието от върха до допирната точка на окръжността е равно на полупериметъра минус срещулежащата на върха страна.. Тоест това горе долу е решението , само че в писмен вид не ми се получава ?!?

[Реклама]

[uktc]

Правилно си се насочил.
Нека вписаните в триъгълниците ACD и BAC окръжности допират диагонала AC съответно в точки P и Q.
По условие
АD+BC=AB+CD
AD-CD=AB-BC
AC+AD-CD=AB-BC+AC
(AC+AD-CD)/2=(AB+AC-BC)/2
(AC+AD+CD)/2-CD=(AB+AC+BC)/2-BC
AP=AQ.