Задача за равностранен триъгълник

[Grands]

Моля да ми помогнете с една задача:
В ▲АВС отсечките АМ и ВР са съответно медиана и ъглополовяща. Точките М и Р разполовяват периметъра:
АB + ВМ = AC + CM и AB + AP = BC + CP.
Да се докаже, че триъгълникът е равностранен.

[Реклама]

[Saposto_MM]

От медианата АМ виждаш, че СМ=ВM и от първото равенство доказваш, че АС=АВ.
Сега разглеждаме второто равенство. Нека АР=х и СР=у. Но АС=х+у=AB, следователно х+у+х=ВС+у, следователно ВС=2х. Тъй като ВР е ъглополовяща, то АB/х=ВС/у <=> х/АB=у/2х => АB=2x²/y. И сега заместваш АB=2x²/у и ВС=2х в AB+AP=BC+CP и получаваш 2x²/у+х=2х+у <=> 2x²-ху-y²=0
Решаваш последното уравнение относно х като у ти е коефициент. Получаваш два корена, единия отрицателен и го отхвърляш, а другия - x₂=у. И като знаеш, че х=у, лесно доказваш, че триъгълникът е равностранен.

[Grands]

Благодаря за бързия отговор, задържен съм ти.
Задачата е от сборник за 8 клас, затова се опитвах да я реша с материал до 8 клас, но не успях. (Теоремата за отношението на страните е частитите, на които се разделя третата страна от ъглофоловящата е от 9 клас).

[Saposto_MM]

Възможно е в годината, в която е издаден сборника, да са се учили тези неща в осми клас. Пък е възможно и да има решение за осми клас, но ако има такова, то сигурно е доста сложно.

[Saposto_MM]

Сетих се как ще стане и за осми клас. Решавах една задача и малко след нея беше дадено предизвикателство: Ако СP е ъглополовяща в ▲АВС да се докаже, че АС/ВС=АР/ВР. Задачата, която решавах е подсказка към предизвикателството и без нея ще бъде по-трудно доказателството на АС/ВС=AP/BP. Лесно се доказва със знания от седми клас:
Нека РМ и РН са перпендикуляри съответно към АС и ВС и тогава РМ=РН=k. Тогава S▲АСР/S▲ВСР=(AC*k/2)/(BC*k/2)=AC/BC. (1)
Нека спуснем перпендикуляр CD=h от С към АВ, който се явява височина за ▲АСР и ▲ВСР. Тогава S▲АСР/S▲ВСР=(AP*h/2)/(BP*h/2)=AP/BP (2)
От (1) и (2) => АС/ВС=АР/ВР.

[Grands]

Благодаря много, ММ. Радвам се, че си намерил време да ми помогнеш.