СУ 2006 зад. 10

[Methuselah]

Да се докаже, че графиките на f(x)= x² + x + 1 и g(x)=1/x имат единствена обща точка и разстоянието от тази точка до началото на координатната система е по-малко от 2.

Дайте чудно решение.

[Реклама]

[uktc]

Първата част е ясна.
Пишем f(x)=g(x); f(x)-g(x)=0
На f(x)-g(x) производната е положителна винаги, значи функциите имат точно 1 обща точка. С Болцано- абцисата на тази точка е в (0;1). Естествено взимаме предвид lim(f(x)-g(x)) при x->±∞.
Вече втората част... Оставям я на друг

Между другото предпочитам такава задача пред: "Намерете всички естествени числа n, за които..." еди какво си...

[zzz]

Ми да наистина f(x) е растяща при x>0, а пък g(x) е намаляваща при x>0, така че могат да имат най-много една обща точка, която с теоремата на Болцано излиза в (0,52;1) f(x)-g(x)=(x^3+x^2+x-1)/x и съответно f(0,52)-g(0,52)<0 f(1)-g(1)=2>0 (Очевидно при x<0 g(x)<0, а пък f(x)=(x-0,5)^2+0,75>0 за всяко реално x. Също така задачата е тривиална и ако се начераят графиките на двете функции, ма не знам дали това би удовлетворило проверяващите ) Сега към втората част. Ми разстоянието d се определя като d^2=X^2+g(X)^2 (Абе от Питагорова теорема), т.е. става X^2+1/X^2 (тук X e абсцисата на общата точка, а 1/X e ординатата й). Тогава d=(X^2 +1/X^2)^1/2, като за да бъде d<2 трябва X^2+1/X^2 да е по-малко от 4, което преобразувайки го излиза, че X^4-4*X^2+1<0. Корените за X^2 са 2+3^1/2 и 2-3^1/2. От това обаче, че 0,52<X<1 следва, че 0,2704<X^2<1, но 2-3^2<0,27<X^2<1<2+3^2, следователно наистина d<2 (Вероятно оценка може да се направи и с по-яко число от 0,52 ама така ми излезе)


Извинявам се за начина, по който съм написал степените, ма кат съм идиот [/url][/quote][/code][/list][/list]

[Methuselah]

От къде, странни човече, намери точно с 0,52 да пробваш??

[uktc]

Нещо не схванах...
Нали уж решаваш неравенство. Намери къде функцията X^4-4*X^2+1 става нула, и от това, че единия корен на уравнението X^4-4*X^2+1=0 удовлетворява условието 0,52<x<1, направи какъв извод?
Нещо май не разбрах.

[zzz]

Малко съм неясен явно, ама сорка. От това, че X квадрат е по-голямо от 2 минус корен 3 и по-малко от 2 плюс корен 3 следва, че X^4-4*X^2+1=(X^2-(2+3^1/2))*(X^2+(2-3^1/2))<0, което доказва, че d<2. А пък иначе пробвах с 1/2 ама не излезе, щото една втора на квадрат е по-малко от 2 минус корен 3 . И си викам 2 минус корен 3 е приблизително 2-1,73=0,27, а пък 0,27 на квадрат е приблизително 0,52. Естествено трябва да се внимава дали е по-голямо, за да излезе точно

[omeganet]

Общата точка на двете функции е с координати А (p, 1/p), където, както уточнихте 0 < p < 1 (1/p > 0). Тогава, ако разстоянието AO < 2, то АО²<4 (тъй като АО > 0). Та имаме следното:
АО² = p²+1/p² < 4 ?
Полагаме t = p²

t²-4t+1<0
D=16-4=12
2-√3 < t < 2+√3
Интервала (0;1) се съдържа в този => всичко е вярно.

[zzz]

Абе не съм съвсем съгласен, щото от тва че 0<t<1 не следва, че 2-√3 < t < 2+√3 . Наистина 2+√3>1 ма, батка, 2-√3>0, така че трябва да се провери че f(√(2-√3))-g(√(2-√3))<0, което между другото е вярно, ако човек го разпише, тъй че не е необходимо да се проверява с 0,52, а направо с √(2-√3)

[omeganet]

Съгласен съм, моя грешка

[r2d2]

[r2d2]

Ето едно нестандартно решение:

[Methuselah]

Евала!!!