Трудна задача

*UKTC* · Редовен Регистриран на: 03 Dec 2006 Мнения: 210

В остроъгълния ▲ABC с ортоцентър H окръжността , описана около ▲ABH минава през средите на страните АC ВC и има радиус с дължина 2.Да се намерят дължините на страните на ▲ABC.

Реклама

Methuselah · Пуснато на: Sat Apr 21, 2007 3:22 pm Заглавие:

Нека средата на АС е М , а средата на ВС - N.
Ясно е, че MN || AB.
ABNM е трапец вписан в окръжност => АМ=BN => AC=BC
Тогава СН е ъглополовяща височина и всичко.
Ъгъл АСВ = 2х
<АНВ=180-2х => <ВАН=<АВН=х.
Нека О е център на описаната около АНВ окръжност.
Дъгата АМВ = 4х
<АОВ=4х
<МОN=2<МАН=2(90-2х)=180-4х
Нека АВ=2а ; MN=a
От АОВ:
4а²=4 + 4 - 2.2.2cos(4x)=8 - 8cos(4x)
Oт MON:
a²= 4 + 4 - 2.2.2cos(180-4x)= 8 + 8cos(4x)
Събираме двете уравнения:
5a²= 16
a=4sqrt(5)/5

*UKTC* · Пуснато на: Sat Apr 21, 2007 3:43 pm Заглавие:

Aко можеш дай чертеж

Methuselah · Пуснато на: Sat Apr 21, 2007 4:13 pm Заглавие:

nope. Не мога.

*UKTC* · Пуснато на: Sat Apr 21, 2007 4:59 pm Заглавие:

Neshto merazbiram obysni tiq redewo molq
Дъгата АМВ = 4х
<АОВ=4х
<МОN=2<МАН=2(90-2х)=180-4х

От АОВ:
4а2=4 + 4 - 2.2.2cos(4x)=8 - 8cos(4x)
Oт MON:
a2= 4 + 4 - 2.2.2cos(180-4x)= 8 + 8cos(4x)

Methuselah · Пуснато на: Sat Apr 21, 2007 5:49 pm Заглавие:

r2d2

Ще използвам следните два факта:
1. Ако R е радиуса на описаната около АВС окр. CH=2Rcosγ.
2. Радиусът на окр. описана около АВН е равен на радиуса на описаната около АВС окр.

Нека Р е другата пресечна точка на СН с описаната около АВН окръжност, т.е. НР е диаметър.

От теоремата за секущите имаме СМ.СА=СН.СР изразяваме всичко с R и β и намираме, че cos2β=-1/4.

Oкончателно се получава АВ=√15 и АС=√10. Компютърът ми е съгласен с мен Wink

Забележка: Много глупаво е тази задача да е в раздел Алгебра Shocked