Регистрирайте сеРегистрирайте се

костенурки


 
   Форум за математика Форуми -> Физика
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Volen Siderov
Редовен


Регистриран на: 21 Oct 2006
Мнения: 123

Репутация: 24.5Репутация: 24.5
гласове: 4

МнениеПуснато на: Fri Apr 20, 2007 7:43 pm    Заглавие: костенурки

Спомням си една много интересна задача от една олимпиада когато бях ученик.Тя обаче вече е много известна.N костенурки са наредени симетрично по дължината на окръжност с радиус R.В даден момент всяка тръгва със скорист v към предната,тя към предната и т.н.След колко време ще се срещнат?Задачата не е трудна,но за пълно решение е по-добре да се постави въпроса за намиране на закона за движение на всяка костенурка.А след това посавям и вапроса за извеждане на уравнението на траекторията на всяка костенурка Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Lubo
Редовен


Регистриран на: 13 Aug 2006
Мнения: 237

Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4
гласове: 10

МнениеПуснато на: Fri Apr 20, 2007 10:08 pm    Заглавие:

Здравейте,

Напоследък съм много, много зает и нямам за съжаление време за нашите дискуссии.

Аз също съм срещал тази хубава задача, но не на олимпиада. Един приятел беше ми я дал преди години.

Миналата година се върнах пак към нея и направих няколко 'sketches' със Geometer's Sketchpad софтуера. В този постинг ще видите 'снимка' на две от тях:

1. Тази, за която Volen пише (в случая на седмоъгълник - седем точки разположени равномерно по една окръжност). 'Sketch'-ът позволява да се избере произволен 'n'-ъгълник, но на една 'статична снимка' трябва да се спрем на някакво конкретно число...

2. Произволно стартово положение на костенурките - началата на всяка от цветните следи, оставени при 'движението' на 'костенурките'.

И в двата случая - това е само една иллюстрация - не е математическо решение на поставените задачи. Решенията остават за по-нататъшна дискуссия във форума.

-----------

Интересно продължение - една от костенурките се опитва 'да избяга' от най-близкия си съсед (вместо да иска да се приближи до него). Как ще изглеждат траекториите им тогава?

-----------

Сега обещаната 'снимка'.



Любо
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Volen Siderov
Редовен


Регистриран на: 21 Oct 2006
Мнения: 123

Репутация: 24.5Репутация: 24.5
гласове: 4

МнениеПуснато на: Sun Apr 22, 2007 7:54 pm    Заглавие:

Здравей Любо.Радвам се да те "видя" отново.Първо за симетричния случай.N костенурки,радиус R,скорост V.Ще напишем уравн. за движ. в полярни координати. r=R-vtsin(п/n) dA=wdt=(1/r)vcos(п/n)dt=(-1/vsin(п/n))(vcos(п/n))(1/r)dr означаваме ъгъл п/n=const=B ъгъл А е ъгъла на преместване.Следва че A=-(cotgB)lnr=ln(R-vtsinB)^-cotgB .Сега да преминем в декартови коорд. като използваме последователно трансформация от полярни в ортог. и формулата на Ойлер. x=rcosA=r/2(e^jA+e^-jA)=r/2(r^-jcotgB + r^jcotgB)=1/2(r^1-jcotgB + r^1+jcotgB) като r=R-vtsinB съответно y=1/2j(r^1-jcotgB - r^1+jcotgB) това е у-ята в параметричен вид(f(t)).За намиране на у-то на траекторията трябва да се намери у-то в вид y=f(x).Още не съм го намерил но смятам че ще стане.Добре е да се сравни с у-та на спирала.Много интересно поставяш проблема за движение при произволно начално положение(а защо не и скорости Smile .А за втората картинка мисля че програмата нещо бърка защото май изчислява траекториите по обратния път и когато се пресекат става грешка.Явно у-то по които ги изчислява е r=vtsinB а не r=R-vtsinB.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Lubo
Редовен


Регистриран на: 13 Aug 2006
Мнения: 237

Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4
гласове: 10

МнениеПуснато на: Sun Apr 22, 2007 10:56 pm    Заглавие:

Здравей и на теб Volene,

На мен също ми е приятно да се "завръщам" от време на време, защото удоволствието от общуването с хора като теб е голямо.

Всъщност Geometer's Sketchpad софтуерът (в този конкретен случай) не използва предварително зададено уравнение. Има една рутинна възможност да "поискаш" една точка да се движи в направлението на друга, независимо от положението на "мишената", която може да е също движеща се. Както вълк преследва плячката си - вълкът винаги бяга по права линия в посока на плячката, не зависимо от това как тя променя посоката си на движение.

Тук
виолетовата "костенурка" "гони" сината
синята -- зелената
зелената -- жълтата
жълтата -- червената
червената -- оранжевата
оранжевата - виолетовата

Верно, че някои от траекториите се пресичат, но движението не спира, защото тези траектории се пресичат само в "пространството", но не едновременно в "пространството" и "времето". Само като пояснение - един метеор може да пресече орбитата на земята, по време когато земята не е в тази точка от орбитата си. В този случай метеорът и земята минават през една точка на пространството, но не по едно и също време.

Можеш ли в случая на симетричното разположение на "костенурките" да свържеш уравнението на движението им със "златното сечение"?

---------------

Ако се отклоним от чисто математическите "костенурки" - с "нулев" размер (математически точки) и им дадем някъкв краен размер - като физически обекти - може да намерим след колко време ще се срещнат.

Любо
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Lubo
Редовен


Регистриран на: 13 Aug 2006
Мнения: 237

Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4Репутация: 35.4
гласове: 10

МнениеПуснато на: Sun Apr 22, 2007 11:16 pm    Заглавие:

Малка корекция в реда на "преследването":

виолетова -- синя
синя -- зелена
зелена -- жълта

ЖЪЛТА -- ОРАНЖЕВА
ОРАНЖЕВА -- ЧЕРВЕНА
ЧЕРВЕНА -- ВИОЛЕТОВА

Любо
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Volen Siderov
Редовен


Регистриран на: 21 Oct 2006
Мнения: 123

Репутация: 24.5Репутация: 24.5
гласове: 4

МнениеПуснато на: Mon Apr 23, 2007 10:09 pm    Заглавие:

ЗдравеЙ отново Любо.Поред:Не успях да получа у-то във някакъв опростен вид във вида y=f(x), но се получи сравнително просто във вид F(x,y)=0.Доколкото помня беше (x+jy)^(1+cotgB)=(x-jy)^(1-cotgB).Бих желал да дискутираме повече математ. страна на въпроса(доколко това е спирала и т.н.).По въпроса за златното сечение кажи какво точно имаш предвид.Не знам почти нищо за зл. сеч.,но предполагам че говориш за вид спирала която може да се построи като допирателна към страните на правоъг. от златното сечение(не помня как се строяха).Може ли да се намери у-то на тази спирала или тя е просто крива от навързани дъги с различни радиуси?
Какво имаш предвид когато казваш,че костенурките Very Happy трябва да имат размер за да се срешнат.Да не поставяш стария парадокс,че ако костен. са мат. точки ще се движат безкрайно дълго една към друга Very Happy
Ако е така спомни си каво то писах към задачата за геометричната вероятност Very Happy .
Колкото до картината исках да ти обърна внимание,че в началния момент костенурките не тръгват една към друга последователно, а към по-следващата или друга.Едва накрая в центъра се подреждат в правилна последователност.Затова си мислех че програмата ги чертае в обратен ред(от центъра към приферията.Но това не е много важно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Физика Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.