Тъждество на Ойлер

[Relinquishmentor]

Докажете тъждеството на Ойлер :

Ако A, B, C & D са произволни точки от една равнина, е изпълнено следното условие:

_→._→....._→._→....._→._→
AB.CD + BC.AD + CA.BD = 0

Лесно, нали

[Реклама]

[m1t3]

Доказателството не е трудно

Ще пиша векторите без стрелката отгоре, че иначе ще стане бавно.

използваме тези три равенства:

CD = AD - AC
BC = AC - AB
BD = AD - AB

След това заместваме в горното и става:

AB(AD - AC) + AD(AC - AB) + CA(AD - AB) =

AB.AD - AB.AC + AC.AD - AB.AD + CA.AD - AB.CA =

AD(AB +AC) - AD(AB + AC) - AB.AC - AB.CA =

AB.CA - AB.CA = [tex]\vec{0}[/tex]