Куб и равнина

[Infernum]

Задачата е всеки да пита даскала си по математика как се решава следната задача:
Да се докаже, че сумата от квадратите на проекциите на ръбовете на куб върху произволна равнина е постоянна величина.
Благо на всички .

[Реклама]

[Methuselah]

Задачата се свежда до тази:
Докажете, че за даден куб АВСDА₁В₁С₁D₁ и произволна равнина, минаваща през А, сборът от квадратите на разстоянията от В, D и А₁ до равнината е константа. Това го мисля сега...

[Methuselah]

Тази задача я позабравихме.. Някой нещо?

[DevilFighter]

Може би никой не може да го докаже това нещо...

[M_Velinova]

едно решение
чертеж

[xyz]

И аз ще дам решение, което е с доста молко сметки. Отначало ще забележим, че ако събираме квадратите на всички проекции на ръбовете на куба, то ще стане голям хаос. Затова:
Погледнете фигурата горе вляво. Това е типична проекция на куб върху равнина. От фигурата се вижда, че търсената сума представлява 4 пъти сумата на квадратите на проекциите на трите ръба, излизащи от един връх.
По-нататък нека означим споменатия по-горе връх с O, а излизащите ребра ще бъдат: OA, OB и OC. Ако заменим равнината с успоредна на нея, то очевидно дължините на проекциите ще се запазят. Така можем да считаме, че равнината преминава през връх O.
Нататък. Прекарваме през O почти произволна права, но принадлежаща на равнината. Изискването е единствено тази права, заедно с AO да образуват равнина. Чрез подходящо завъртане спрямо тази права (това е завъртане спрямо ос) можем да направим така, че реброто AO да "отиде" в разглежданата равнина.
Следващото ни преобразувание е да завъртаме, спрямо оста AO. Целта ни е реброто OC да "отиде" и то в равнината.
След тези 3 преобразувания, ще изчислим сумата от квадратите на проекциите. За да докажем задачата, то ще трябва да докажем, че тази сума не се променя, при обратните преобразувания.
Започваме вижте фигурата горе вдясно. Проекциите на OA и OC са самите OA и OC, т.е. от тях имаме: t^2+t^2, където t е дължината на ръба на куба. Проекцията на точката B, очевидно (тъй като BO е перпендикулярна на OA и OC, според дефиницията на куб) ще е точно в точка O, т.е. проекцията на това ребро е точно 0. Като резултат получаваме че сумата от квадратите е 2t^2.
При ротацията спряма остта OA на ъгъл α получаваме следната ситуация (фигурата долу вдясно). Проекциите са OC' и OB', както е показано на чертежа. От него също така става ясна, че ъгъл OBB'=α, откъдето (тъй като OB=OC=t) намираме, че OC'=BB' и 0B'=CC'. Нататък веднага получаваме, че OC'=OC.cos α=t.cos α и OB'=CC'=t.sin α. Тогава очевидно имаме, че (OC')^2+(OB')^2=t^2((sin α)^2+(cos α)^2)=t^2. Тъй като OA си стои на мястото, то очевидно и проекцията е същата, т.е. квадрата от тази проекция е t^2. Отново получаваме, че сумата е 2t^2.
Третото преобразувание е най-сложно. Чертежът му се намира долу вляво. С B_0 е означена точката на старата проекция B'. При въртене спряма остта OB_0 ще разглеждаме само точката B, защото изчисленията за точката C са подобни. На фигурата с пунктир е означена равнината след завъртане на ъгъл β. B' и A' са съответно точките на проектиране на B A в тази завъртяна равнина. На фигурата е добавена също права перпендикулярна на OB_0, минаваща през B_0 и лежаща в основната равнина. Лесно е да се съобрази, че проекцията B' лежи в равнината, образувана от тази перпендикулярна права и точката B. Тъй като BB_0 е права перпендикулярна на началната равнина, то лесно се получава, че ъгъл B'B_0O е прав. Следователно квадрата на новата проекция OB' е равен на квадрата на старата проекция OB_0 плюс квадрата на B_0B' (Питагорова теорема). От друга страна, тъй като BB' е новата проекция, то ъгъл BB'B_0 е прав, откъдето (взимайки под внимание и ъглите):
B'B_0=BB_0.sin β
аналогично ще получим, че
C'C_0=CC_0.sin β
Следователно B'B_0^2 +C'C_0^2=(BB_0^2 +CC_0^2 ).(sin β)^2 . Сега използвайки изчисленията от предното преобразувание (там на BB_0 и CC_0 ще съотвестват BB' и CC') ще получим, че A'A_0^2 +B'B_0^2=t^2 .(sin β)^2. Това ще е стойността с която сумата от квадратите на проекциите на OB и OC се е повишила след трансформациите. От друга страна ясно е, че проекцията на OA (виж чертежа и означените ъгли) се е преобразувала от t^2 на t^2 .(cos β)^2, т.е. квадрата на проекцията на OA се е намалил с t^2 -t^2 .(cos β)^2 =t^2 .(sin β)^2. Получихме, че при тази последна трансформация сумата от квадратите на проекциите на OB и OC е нараснала с точно толково, колкото е намаляла при квадрата на проекцията на OA.
С това задачата е решена, но хубаво ще е да се разгледат случаите малко по-прицизно (например възможно е точките B и C да отидат в различни полуравнини след втората трансформация).