Да се намери

[Saposto_MM]

Ако x+y+z=0
x² + y² + z² =4,
x⁴ + y⁴ + z⁴ =?

[Реклама]

[Aborigen4eto]

Повдигаме целия израз (x^2+y^2+z^2) на квадрат.
Получава се:
x^4+y^4+z^4+2*x^2*y^2+2*x^2*z^2+2*y^2*z^2.
Разглеждаме 2*x^2*y^2+2*x^2*z^2+2*y^2*z^2=
=2*(x^2*y^2+x^2*z^2+y^2*z^2).
(x^2*y^2+x^2*z^2+y^2*z^2) може да се представи като:
x^4+y^4+z^4-2*(y*z^2*x+y^2*x*z+x^2*y*z)
защото (xy+yz+xz)^2 e:
x^2*y^2+y^2*z^2+x^2*z^2 +
2*y*z^2*x+2*y^2*x*z+2*x^2*y*z=
=x^2*y^2+y^2*z^2+x^2*z^2 +2(y*z^2*x+y^2*x*z+x^2*y*z).
но y*z^2*x+y^2*x*z+x^2*y*z e (x+y+z)*x*y*z
Тъй като x+y+z e 0 ,то и 2(y*z^2*x+y^2*x*z+x^2*y*z) ще е 0.
(x+y+z)^2 e x^2+y^2+z^2+2*x*y+2*y*z+2*x*z=0
A x^2+y^2+z^2 е 4
Следователно 2*x*y+2*y*z+2*x*z=(-4)
или x*y+y*z+x*z=(-2)
2*(x*y+y*z+x*z)=2*4=8
целия израз (x^2+y^2+z^2)^2 е 4^2=16=x^4+y^4+z^4-2(y*z^2*x+y^2*x*z+x^2*y*z) но (y*z^2*x+y^2*x*z+x^2*y*z)е 8 =>
и x^4+y^4+z^4 = 8

[Saposto_MM]

Добре... правилен отговор. Тази задача, но в малко променен вид, е била давана на изпит след седми клас в НПМГ през 1977г.

[Aborigen4eto]

Тя е малко тип "Последния да затвори вратата" и е доста объркваща но ако осъзнаеш какво ти е дадено и работиш стъпка по стъпка не е чак толкова гадна.
Но за изпит е направо отвратителна