диференциално уравнение на математично махало

[Volen Siderov]

Знае ли някой какви са решенията на диференциaлното уравнение:

[tex]\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dt})+k sin y=0[/tex]

[tex]k=const[/tex]

За повече погледнете форума за физика тема махало. Благодаря.

[Реклама]

[Infernum]

Уравнението

y'' + ksin y = 0

може да се реши в квадратури.
С въвеждането на функцията

z(y) = y'

и изразяване на производната

y'' = zz'

след заместване се получава уравнението с разделени променливи

zdz + ksin ydy = 0.

Като се интегрира това уравнение се получава решението

z² - 2kcos y = C₁, C₁ = const.

тогава изходното уравнение се свежда до

(y')² - 2kcos y = C₁.

Последното уравнение се разпада на две уравнения с разделени променливи:

y' = ±√(C₁ + 2kcos y).

След интегриране се получава

x = ±∫_0..ydt/√(C₁ + 2kcos t) + С₂.

Константите от интегрирането С₁ и С₂, както и знака пред интеграла се оределят в зависимост от началните условия, които следва да се поставят (това оставям на вас ). Самият интеграл, при добре подбрани начални условия, може и да се пресметне и да се изрази решението в явен вид. Разбира се нещата могат да се прецизират още, но сега ме мързи

[Kaloyan_Krastev]

Здравей ,всъщност Infernum е свел уравнението от диференциално към интегрално ,ядрото в подинтегралната функция никак не е просто и уравнението на практика не е решено.За нелинейно нехомогенно уравнение от този тип се прибягва обикновено към методи на горни и долни решения (lower and upper solutions ) в интернет има добри статий по темата ,препоръчвам ти да се запознаеш с нещата те не са трудни-топологични методи.

[Infernum]

Ами принципно грешиш, тъй като неизвестнтата функция очевидно не участва в подинтегралната функция. Тук не става дума за никакво интегрално уравнение. Решението на уравнението, което съм извел е просто изразено в неявен вид. С непосредстева проверка се установява, че това решение превръща уравнението в тъждество. Отново подчертавам, че при подходящо подбрани начални условия решението може да се изрази в явен вид.

[Kaloyan_Krastev]

Да , грешката е моя извини ме не съм обърнал внимание -прав си,понеже лично на мен когато работя с подобни уравнения често ги трансформирам в интегрални.