Регистрирайте сеРегистрирайте се

Втори ден 12 клас

Иди на страница 1, 2  Следваща
 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 1:35 pm    Заглавие: Втори ден 12 клас

4. Нека I е центърът на външновписаната окръжност към страната АВ на триъг. АВС, а S е симетричната точка на I относно АВ. Правата през S, пермендикулярна на BI, пресича правата AI в точка Т. Да се докаже, че CI=CT.

5. Да се реши: уравнението: (8x - 2x)/(6x - 3x) = 2

6. Да се намерят всички функции f : R -> R такива, че f(0) <=0 и f(x+y)<=x+f( f(y) ) за произволни x,y E R.


Последната промяна е направена от Methuselah на Sun Apr 15, 2007 7:09 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin_bg
Начинаещ


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 76

Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1Репутация: 8.1

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 1:40 pm    Заглавие:

На втора х=1 е единствено решение, 1-ва и 3-а , ако някой ги е решил ще съм му благодарен да сподели решенията Smile Или поне да каже как се решават ...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 3:12 pm    Заглавие:

На 4та задача, успях да намеря,че < CIT = β/2. Но така и не успях да намеря < CTI . Ще е хубаво ако някой се е справил,да постне решения или поне давайте идеи.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
veliko
Начинаещ


Регистриран на: 18 Mar 2007
Мнения: 34

Репутация: 7.1Репутация: 7.1Репутация: 7.1Репутация: 7.1Репутация: 7.1Репутация: 7.1Репутация: 7.1

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 3:32 pm    Заглавие:

Methuselah
на 2 задача х какво е?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
frostinlove
Начинаещ


Регистриран на: 15 Apr 2007
Мнения: 14

Репутация: 2.5Репутация: 2.5

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 3:36 pm    Заглавие:

ми на 6 та е само f(x)=x използваш че х и у са произволни и им даваш стойности 00, 0х,у0 и става
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 4:55 pm    Заглавие:

На 5та х=1 мисля че е единствено р-е. ( veliko, х е степенен показател ако това питаш.. )
На 6та f(x)=x го получавам по някакъв странен начин... но го получавам Laughing
4та я хванах но не ми стигна времето. За CIT имам ъгъл и две страни. Пускам синусова и остава да докажа тъждество.
По-късно по-подробно сега съм много изморен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Who_cares123456
Редовен


Регистриран на: 14 Apr 2007
Мнения: 163

Репутация: 39.8Репутация: 39.8Репутация: 39.8Репутация: 39.8
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 5:58 pm    Заглавие:

за 6 е твърде елементарно ,за да е единствено решение f(x)=x.
един от варна видях да разглежда и някакви други функции .
нз дали е открил, но бая писа.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 6:31 pm    Заглавие:

Мисля че никоя вдлъбната или изпъкнала функция не може да отговори на условието. А единствената линейна е f(x)=x
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 6:55 pm    Заглавие:

Methuselah написа:
На 5та х=1 мисля че е единствено р-е.

Само един е корена, но не е x=1.
Нещо не можах да я реша... Не е нагласена да се вижда корена отраз Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 6:59 pm    Заглавие:

срам

Последната промяна е направена от Methuselah на Sun Apr 15, 2007 7:02 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 7:01 pm    Заглавие:

Methuselah написа:
Пробва ли да заместиш с х=1 Laughing Чувал съм че хората казват за подобни случаи "от самолет се вижда"

Нещо май не мога да смятам Embarassed
При х=1 уравнението не става ли:
6/4=2 ?


Последната промяна е направена от uktc на Sun Apr 15, 2007 7:02 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 7:01 pm    Заглавие:

много срам
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 7:04 pm    Заглавие:

Споко, сигурно стъклото на самолета не е добре измито Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 7:08 pm    Заглавие:

пич аз съм сбъркал условието.
долу не е 2^х а 3^х
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 7:11 pm    Заглавие:

Как ме стресна ако знаеш..... ТК съм
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 7:25 pm    Заглавие:

А как доказа, че само х=1 е решение?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
HeypaBHobeceH
Начинаещ


Регистриран на: 14 Apr 2007
Мнения: 84

Репутация: 6.6Репутация: 6.6Репутация: 6.6Репутация: 6.6Репутация: 6.6Репутация: 6.6
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 9:25 pm    Заглавие:

последно как е условието на въпросната 5-та задача? има ли грешка при преписването на условието или не?!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 9:26 pm    Заглавие:

taka e
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 10:33 pm    Заглавие:

uktc написа:
А как доказа, че само х=1 е решение?

Аз опитах да го докажа с графики на функции. Получих този запис :
2.3x = 4x + 2x и ги разгледах като две функции и като начертах графиките им (уж ги начертах) се получи,че се пресичат само в 0 и 1,но 0-та се изключва от ДС. Rolling Eyes Тва ми се Вижда малко измислен начин,но за друго не се сетих.А също така се сетих,че щом получаваме x=1 че е р-е,трявба да докажем някак си,че в интервалите x E (-∞ , 0) U (0;1) U (1;+∞) уравнението няма решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Eric Cartman
Начинаещ


Регистриран на: 15 Apr 2007
Мнения: 10

Репутация: 1.5

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 10:44 pm    Заглавие:

Да, във всъщност полученото от теб равенство може да се разглежда по следния начин: имаме изпъкнала функция, тоест в сила е неравенството на Йенсен (или в този случай дори просто свойство на графиката й), а именно f(x1)+f(x2)>=2.f((x1+x2)/2), значи 4^x+2^x>=2.3^x, като трябва да имаме равенство, т.е. f''=0, което за
f(a)=a^x<=>x=1, единствено решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Eric Cartman
Начинаещ


Регистриран на: 15 Apr 2007
Мнения: 10

Репутация: 1.5

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 10:54 pm    Заглавие:

BG Yoda написа:
за 6 е твърде елементарно ,за да е единствено решение f(x)=x.
един от варна видях да разглежда и някакви други функции .
нз дали е открил, но бая писа.

Ако порешаваш малко функционални уравнения и/или неравенства ще видиш, че в повечето случаи ако има решение то е или константна ф-я, или f(x)=x или нещо такова. Зорът не е отговорът, а пътят до него, в случая 2-3 точни субституции в равенството от условието Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sun Apr 15, 2007 11:17 pm    Заглавие:

Eric Cartman написа:
...тоест в сила е неравенството на Йенсен (или в този случай дори просто свойство на графиката й), а именно f(x1)+f(x2)>=2.f((x1+x2)/2), значи 4^x+2^x>=2.3^x, като трябва да имаме равенство, т.е. f''=0, което за
f(a)=a^x<=>x=1, единствено решение.

Това св-во го бях позабравил,но е добър подход към решаване на задачата. Аз точно това си мисля,че са имали в предвид като са дали задачата.Не е трудно да получиш x=1,а е по-трудничко да докажеш че е 1вен корен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
myrdd
Начинаещ


Регистриран на: 16 Apr 2007
Мнения: 5


МнениеПуснато на: Mon Apr 16, 2007 7:12 pm    Заглавие:

Ами аз криво-ляво доказах,че решението е Х=1 е единствено,а геометричната я реших като през S прекарах успоредна права на BI и след това има изразяване на ъгли и се получава един правоъгълник и общо цялото описание ми излезна лист и страница на тая задача.
Задачата ще ми е вярна,ако съществува нещо като теорема,че ако една отсечка се вижда под равни ъгли от две точки,то около 4 тирите точки(2те дадени и другите 2-кращата на отсечката) може да се опише окръжност.
Моля се да ми я признаят.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Chronotrigger
Начинаещ


Регистриран на: 14 Apr 2007
Мнения: 2


МнениеПуснато на: Mon Apr 16, 2007 11:20 pm    Заглавие:

ОК, ето едно решение на 6-та.

f(0)<=0
f(x+y)<=x+f(f(y))

f(f(0)+0)<=f(0)+f(f(0))
Следователно:
0<=f(0)
Следователно:
f(0)=0

f(x+0)<=x+f(f(0))
f(x+0)<=x+f(0)
f(x)<=x

Сега, приемаме, че за някое x f(x)<x
Тогава f(-x+x)<=-x+f((f(x))
f(x)=z
z<x
f(z)<=z<x
f(-x+x)=f(0)=0
0<=-x+f(z)
x<=f(z)<=z<x
x<x - противоречие, следователно за никое x f(x)<x

Значи f(x)=x за всяко реално x.

Айде успех нататъка и дано без 6-та пак да събереш точките Smile.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
frostinlove
Начинаещ


Регистриран на: 15 Apr 2007
Мнения: 14

Репутация: 2.5Репутация: 2.5

МнениеПуснато на: Tue Apr 17, 2007 7:34 am    Заглавие:

решенията ни са почти еднакви
f(0)<=0
f(x+y)<=x+f(f(y))

f(f(0)+0)<=f(0)+f(f(0))
Следователно:
0<=f(0)
Следователно:
f(0)=0

f(x+0)<=x+f(f(0))
f(x+0)<=x+f(0)
f(x)<=x
сега x=0 и имаме F(y)<=F(F(y))
нека F(y)=t за някое y t<=F(t)
но f(x)<=x за всяко х => само F(x)=x

аз реших 4 задачи без двете геометрия и стереометрия и очаквам 28 точки Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Футуролог
Начинаещ


Регистриран на: 29 Dec 2006
Мнения: 31

Репутация: 16.4Репутация: 16.4
гласове: 7

МнениеПуснато на: Wed Apr 18, 2007 4:01 am    Заглавие: Решение на 4 задача:

Някой по-горе пита за задача 4. Решението може да е примерно нещо такова:

Нека външно вписаната окръжност в триъгълник АВС към страната АВ се допира до страната АВ и до правата ВС съответно в точките М и К. Нека Е е пресечната точка на правите КМ и АI.

Лема: СЕ е перпендикулярна на АI, т.е. <СЕI=90.

Доказателство: Да означим <АВС=2б. тр.МКВ е равнобедрен, защото ВМ=ВК като допирателни към външно вписаната окръжност спуснати от точка В. Тогава като му се сметнат ъглите се получава, че <МКВ=<ЕКС=б. Като се сметнат ъглите в тр.АIС, се получава, че <АIС=<ЕIС=б. Така <ЕКС=<ЕIС=б и следователно около ЕIКС е вписан в окръжност. Тогава <IКС + <СЕI = 180. Но <IКС=90, следователно <СЕI=90.

Понеже ВI е ъглополовяща на <КВМ, то ВI е симетрала на КМ, като ъглополовяща в равнобедрения тр.МКВ. Следователно МК е перпендикулярна на ВI и съответно ЕМ е перпендикулярна на ВI (Е, М, К лежат на една права по построение). Тогава разглеждаме тр.IST. МЕ е успоредна на ST, понеже SТ е избрана да е перпендикулярна на BI. По условие M е среда на IS, значи МЕ е средна отсечка в тр.IST и Е е среда на IТ. От лемата и от горедоказаното, СЕ разполовява отсечката IТ и е перпендикулярна на нея, следователно СЕ е симетрала на IТ. Това означава, че СТ=СI, което трябваше да се покаже.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Wed Apr 18, 2007 12:19 pm    Заглавие:

Мисля че показателните уравнения, които имат само един корен, като се намери корена, в случая 1, се разглеждат случаите x<1 и x>1 и се доказва, че няма такива решения.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Wed Apr 18, 2007 12:52 pm    Заглавие:

Deyan написа:
Мисля че показателните уравнения, които имат само един корен, като се намери корена, в случая 1, се разглеждат случаите x<1 и x>1 и се доказва, че няма такива решения.

На теория е така, но пробвай с конкретното уравнение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
frostinlove
Начинаещ


Регистриран на: 15 Apr 2007
Мнения: 14

Репутация: 2.5Репутация: 2.5

МнениеПуснато на: Wed Apr 18, 2007 9:41 pm    Заглавие:

а кога ще излязат резултатите някои знае ли ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
kisoso
Начинаещ


Регистриран на: 05 May 2006
Мнения: 81
Местожителство: София
Репутация: 21.5Репутация: 21.5

МнениеПуснато на: Wed Apr 18, 2007 10:08 pm    Заглавие:

Еми те не се разгласяват из нета... така де...
Предподавателят ти трябва да каже... или пишеш на някой от СМБ или БАН... не знам как е точно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница 1, 2  Следваща
Страница 1 от 2

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.