Кажете ми,че ми е вярно pleasee :)

[Mihito]

Ей сега се прибирам от олимпиадата по математика Областен кръг.Такива задачи дадоха,че направо....ужас.Първата беше горе-долу нормална,но не знам дали ми е вярна.Условието е:
Да се намерят всички стойности на параметъра а,за които системата има решение
|sinx+cosy=4a+6
|cosx+siny=3a+2

И аз какво правя...Значи
-1≤sinx≤1
-1≤siny≤1
-1≤cosx≤1
-1≤cosy≤1

От това всичкото правя извод,че във всички случаи -2≤sinx+cosy≤2 и -2≤cosx+siny≤2
Пиша го това в 1 системка с две двойни неравенства и замествам.
|-2≤4a+6≤2
|-2≤3a+2≤2

И получавам за а интервал [-4/3;-1]

Прекалено е лесно за олимпиада,обаче пък ми се струва най-логично и незнам...Моля ви кажете че ми е вярно,щот ако това не ми е, утре няма въобще да ида

[Реклама]

[r2d2]

При а=-1 получаваш
sinx+cosy=2
cosx+siny=-1
Тази система няма решения (sry)

[Who_cares123456]

нали знаеш, че sinx и cosx няма как да са равни едновремно на 1 и щом са в система то няма да е вярно

[Mihito]

уффф ясно.А как ще се реши тогава?

[StUPid^GirL]

Така става ли?

|sinx+cosy=4a+6
|cosx+siny=3a+2

sinx+cosx+siny+cosy=7a+8
f(x)=sinx+cosx=sinx+sin(90-x)=2sin45.cos(x-45)=(√2)cos(x-45)
-√2≤f(x)≤√2
Аналогично f(y)=siny+cosy
-√2≤f(x)≤√2
-2√2≤f(x)+f(y)≤2√2
-2√2≤7a+8≤2√2

|7a+8≤2√2
|7a+8≥-2√2

[Who_cares123456]

ето и моята идея:

вдигаме на квадрат и двете равенства в системата
|sinx²+2sinx.cosy+cosy² = 16a²+48a+36
|cosx²+2siny.cosx+siny² = 9a²+12a+4

после образувам сбора
sinx²+2sinx.cosy+cosy²+cosx²+2siny.cosx+siny² = 25a²+60a+40
=>2+2sin(x+y) = 25a²+60a+40

и тук вече използваме, че -1≤sin(x+y)≤1

получавам само a=-6/5

PS StUPid^GirL това не е съвсем вярно, тъй като 7а+8=2.√2
при x=y=45° ,но тогаво 4а+6=3а+2=√2 , което не е вярно!

Между другото таз задача на кой клас се е паднала?

[Nona]

на 11 клас

[Mihito]

А някой може ли да ми каже втория ден какви задачи се паднаха?

[Mihito]

Опа,те вече са били публикувани във форума .sorry