Да се дакаже точен квадрат

[Titu_Andrescu]

За естествените числа a,b,c са изпълнени неравенствата 0<a^2+b^2-abc ≤c . Да се докаже, че a^2+b^2-abc е точен квадрат.

[Реклама]

[Tony_89]

Много интересна задача!

a² - a*b*c + b² > 0
b E N =>
=> a² - a*b*c + b² > 0 /:b²
(a/b)² - c*(a/b) + 1 > 0
D = c² - 4

I случай: D < 0, т.е. (a/b)² - c*(a/b) + 1 > 0 е винаги изпълнено
|c E (-2;2)
|c E N =>
=> c = 1 =>
=> a² - a*b*c + b² <= c
a² - a*b + b² <= 1
a² - 2*a*b + b² <= 1 - a*b
(a - b)² <= 1 - a*b
a E N,b E N =>
=> a*b >= 1 => 1 - a*b <= 0, (a - b)² >= 0 =>
=> (a - b)² = 1 - a*b = 0 =>
=> a = b = 1 =>
=> a² - a*b*c + b² = 1, което е точен квадрат

II случай: D = 0
|c = +- 2
|c E N =>
=> c = 2

(a/b)² - c*(a/b) + 1 > 0
(a/b)² - 2*(a/b) + 1 > 0 =>
=> (a/b - 1)² > 0
(a/b - 1)² >= 0 =>
=> (a/b - 1)² <> 0
a/b <> 1
a <> b
a² - a*b*c + b² <= c
(a - b)² <= 2
a E N,b E N =>
=> a - b = 0 или |а - b| = 1
a - b = 0
a = b, което не е решение
|а - b| = 1
a = b + 1 или b = a + 1
И при двата случая a² - a*b*c + b² = 1

III случай: D > 0
|c E (-oo;-2) U (2;+oo)
|c E N =>
=> c E N/{{1} U {2}}, т.е. всички останали възможни стойности на c
0 < a² - a*b*c + b² <= c
0 < a² - 2*a*b + b² - a*b*(c - 2) <= c
a*b*(c - 2) < (a - b)² <= a*b*(c - 2) + c (1)

При (a - b)² = 0, a*b*(c - 2)_min = 1 => (1) не е изпълнено
При (a - b)² = 1, a*b*(c - 2) = 2,4,6,8,10,12... => (1) не е изпълнено
При (a - b)² = 4, a*b*(c - 2) = 3,6,8,9,12,16...
При (a - b)² = 9, a*b*(c - 2) = 4,8,10,12,15...
При (a - b)² = 16, a*b*(c - 2) = 5,10,12,15,20...
При (a - b)² = 25, a*b*(c - 2) = 6,12,14,18,24,28...
При (a - b)² = 36, a*b*(c - 2) = 7,14,16,21,28,32,35,42...
(1) е изпълнено само при удебелените стойности на a*b*(c - 2), а при тях:
a² - a*b*c + b² = 1
Опитах се да намеря някаква зависимост за възможните стойности на a*b*(c - 2), ама не успях.
Решението ми не е много чисто, затова ще се раздвам да видя нечие друго.

[Titu_Andrescu]

Много странен подход.
При 2 случай просто напиши c=2 и a²-abc+b²=(a-b)².
Случай 3 не е ясен.
Това не е решение, а нещо като анализ които не ти помага.

[veliko]

0<= a² + b² -abc делим на b² > 0
уравнението добива вида a²/b² - аc/b + 1 >=0 , което е изпълнено при D<=0 спрямо t= a/b;
тогава c² -4 <=0; -2<=c <=2
a² + b² -abc <=c
при c=1;
0<= a² + b² -ab-1 <=0 тоест
a² + b² -ab-1 =0
Това уравнение , разглеждано спрямo а или b
D= b²-4b² + 4 = 4-3b² и понеже а и b са естествени то D = k² =>b=1 е единствено решение . аналогично за а. а=b=c=1;
a² + b² -abc = 1 което е точен квадрат.
при c=2. a² + b² -abc = (а-b)²[/img]