Oт една задача за 7-ми клас

[r2d2]

Ако x+y=1 и x^3+y^3=4. Пресметнете x^10+y^10.

[Реклама]

[Saposto_MM]

Ами можем да намерим числата х и у, но е интересно дали може без да намираме тези числа.

[Tony_89]

x³ + y³ = 4

(x + y)*(x² - x*y + y²) = 4

x² - x*y + y² = 4

x² + 2*x*y + y² = 3*x*y + 4

(x + y)² = 3*x*y + 4

3*x*y + 4 = 1

x*y = -1

(x + y)⁵ = x⁵ + y⁵ + 5*x*y*(x³ + y³) + 10*x²*y²*(x + y)

1 = x⁵ + y⁵ + 5*(-1)*4 + 10*1*1

x⁵ + y⁵ = 11

(x⁵ + y⁵)² = 121

x¹⁰ + 2*x⁵*y⁵ + y¹⁰ = 121

x¹⁰ + y¹⁰ = 121 - 2*(-1) = 123

[r2d2]

[Tony_89]

Еми сметнах го

[r2d2]

Eто едно възможно решение:

x^3+y^3=(x+y)^3 -3xy(x+y)=1-3xy => xy=-1;
=> x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=3;

(x^3+y^3)(x^2+y^2)=12=x^5+y^5+x^3*y^2+y^3*x^2= x^5+y^5+x^2*y^2(x+y)=x^5+y^5+1 => x^5+y^5=12-1=11 и после като Тони.

Има още по-добрo, но като chalange : x^17+y^17=?

[Saposto_MM]

(x^3+y^3)(x^4+y^4)=4*7=28 доказано е вече, че x^4+y^4=7
x^7+x^3y^4+y^3x^4+y^7=28
x^7+y^7+x^3y^3(x+y)=28
x^7+y^7-1=28
x^7+y^7=29
(x^7+y^7)(x^10+y^10)=29*123 доказано е вече, че x^10+y^10=123
x^17+x^7y^10+x^10y^7+y^17=29*123
x^17+y^17+x^7y^7(x^3+y^3)=29*123
x^17+y^17-4=29*123
x^17+y^17=29*123+4
x^17+y^17=3571

[Tony_89]

(x⁵ + y⁵)*(x² + y²) = 33 =

= x⁷ + y⁷ + x²*y²*(x³ + y³) =

= x⁷ + y⁷ + 4

x⁷ + y⁷ = 29

(x¹⁰ + y¹⁰)*(x⁷ + y⁷) = 123*29 = 3567 =

= x¹⁷ + y¹⁷ + x⁷*y⁷*(x³ + y³) =

= x¹⁷ + y¹⁷ - 4

x¹⁷ + y¹⁷ = 3571

[Tony_89]

Sry, MM, изглежда сме писали едновременно

[Saposto_MM]

Няма значение. Важното е, че решението ти е различно.

[r2d2]

Сигурно, ако малко бяхте се спрели и помислили щяхте да видите, че ако S(n)=x^n+y^n, за x i y удоволетворяващи x+y=1 и x^3+у^3=4,
то S(n)=S(n-1)+S(n-2)! Sry ne se kefq, това ващо не са решения, а хамалщина!

[Saposto_MM]

Точно това забелязах... но доста по-късно. Мислех да го напиша, но ти си ме изпреварил.
Също така изглежда, че ако S(n)=x^n+y^n, то за n=1,2,4,5,7,8,10,11,13,14... S(n) е просто число.