Лице на равнобедрен триъгълник

[xtraseks]

Намерете лицето на равнобедрен триъгълник с основа 30 см и радиус на вписаната окръжност 10 см..Използвайте подобни триъгълници, Питагорова теорема...

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Ако не съм объркал, излиза, че е 225 см2.

[Spider Iovkov]

Нека OP, OQ, OR са перпендикулярите, спуснати от центъра на вписаната в АВС окръжност до трите му страни. Понеже ъглополовящата през върха С на дадения триъгълник е медиана и височина, то RA = RB = 15 см.
Понеже триъгълникът POQ е вписан в дадената вписана окръжност, то за него е в сила синусовата теорема:
OP/sinα = 2R, където отчиташ, че α е ъгъл POQ. Така намираш, че α = 60°.
Разглеждаме четириъгълника POQC: ъгъл Р + ъгъл Q = 180°. Тогава и ъгъл О + ъгъл С = 180° и => ъгъл С = 120°.
За триъгълник РОС прилагаш синусовата теорема:
ОР/sin60° = ОС/sin90° => ОС = ОР/sin60° => ОС = 5.
СR е височината в АВС. СR = OR + ОС => СR = 15.
Така за лицето на АВС получаваш: S = АВ.СR/2 = 30.15/2 и => S = 225

[Spider Iovkov]

Ама нещо съм объркал. Сега като си гледам решението, нещо не ми се връзва. С тая синусова теорема...

[Spider Iovkov]

После пак ще ти напиша цялото подробно решение. Това не го зачитай.

[Spider Iovkov]

Значи... като започнах наново да я решавам отново, се усетих къде съм сбъркал. Просто съм разменил местата на едни букви и някакви ъгли... Не се притеснявай, ето го най-сбитото решение, което направих. Следвай предложението от миналия вариант за перпендикулярите и си предстви, че чертежът ти е такъв, какъвто ти го описах.
Разгл. триъгълник POQ и прилагаме за него синусовата теорема, като сме отчели, че ъгъл OPQ = OQP = α:
PQ/sin(180°-α) = ОР/sinα = 2R <=> PQ/sinα = ОР/sinα = 2R => sinα = ОР/2R = 10/2.10 => sinα = 1/2 => α = 60° => OPQ = 60° => POQ = 60° => PCQ = 120°.
Триъгълник PCQ: sinPCQ = ОР/СО => ОС = ОР/sin60° => ОС = 5 см.
CR = 15 см.
=> S = АВ.СR/2 = 30.15/2 => S = 225 см2.