Равнобедрен АС=ВС с ъгъл АСВ=20

r2d2

Даден е равнобедрен триъгълник АС=ВС с ъгъл АСВ=20.

Симетралата на ВС пресича АС в N. Правата през А перп. на BN пресича ВС в М.

Намерете ъгъл МNB.

Подозирам, че задачата има много различни решения. Знам подобна с поне седем, така че дори някой да я реши, търсят се и други решения!

Реклама

DevilFighter · Пуснато на: Fri Apr 06, 2007 7:51 pm Заглавие:

Този ъгъл 20 е много лош.Остана ми само да намеря начин да го изразя някак си.

Nona · Пуснато на: Sat Apr 07, 2007 1:11 pm Заглавие:

Methuselah · Пуснато на: Sat Apr 07, 2007 2:18 pm Заглавие:

Нямам подходящ софтуер за чертане и писане нормално за което се извинявам.
Маркирам решението:
1)NPMH e вписан в окръжност.
=> <PNM=<PHM
Сега ще докажа че HP е перпендикулярна на AB (не знам дали по най-лесния начин. )
От т.В издигам права перпендикулярна на АВ която пресича АМ в точка К.
От т. Н спускаме перпендикуляр към АВ в точка T. Ясно е че АТ/ТВ=3/1
Тогава от теоремата на Талес НР трябва да дели АК в същото отношение.
Като пресметнем АР/РК (навсякъде имаме правоъгълни триъгълници с ъгъл по 30 градуса ) получаваме точно 3/1 с което доказваме че НТ минава през Р.
Тогава за правоъгълния НТВ намираме <ТНВ=<PHM=<PNM=10.

Nona · Пуснато на: Sat Apr 07, 2007 2:22 pm Заглавие:

Твоето решение е по-хубаво Smile

r2d2 · Пуснато на: Tue Apr 10, 2007 3:55 pm Заглавие:

Търсим и други решения, не се предавайте!

r2d2 · Пуснато на: Mon Apr 23, 2007 5:24 pm Заглавие:

Eто едно друго решение:

Нека симетралата NH пресича окръжността k с център С и радиус СА в т.К. Лесно се доказва, че СКВ е равностранен (това не зависи от ъгъл АCВ).Понеже МАВ=30 излиза, че и АМ пресича k в точката К.
Пресмятаме МКН=20, тогава около МКСN може да се опише окръжност.
CNM=180-CKM=130, но CNB=140, следователно BNM=10.

Футуролог · Пуснато на: Sun Apr 29, 2007 5:19 pm Заглавие:

Хайде и аз да се разпиша с едно решение!

Нека СН' е височината в АВС, където Н' лежи на основата АВ. Нека К е пресечната точка на СН' с NB и нека Р е пресечната точка на NB с АМ.

В равнобедрен триъгълник, височината към основата е и ъглополовяща и медиана, и следователно е и симетрала на основата. Това означава, че СН' е симетрала на АВ и ъглополовяща на <АСВ. Тъй като К лежи на симетралата СН' на АВ, то КА=КВ, т.е. тр. АВК е равнобедрен. Но като се сметнат ъглите, <АВК=60, т.е. тр.АВК е равностранен. АР е висоина в него, следователно е медиана и оттук е и симетрала на ВК. М лежи на тази симетрла, следователно МВ=МК. Така тр.ВМКе равнобедрен и <ВКМ=<КВМ=<NВС=20. Оттук, <NKM=180-<BKM =180 - 20=160. От друга страна <NCM=20. Рaзглеждаме четириъгълника NKMC. От горедоказаното <NKM+<NCM=160+20=180, т.е. около NKMC може да се опише окръжност. Следователно <KNM=<KCM=1/2 20=10, като съответно вписани ъгли в окръжност и тъй като СК е ъглополовяща на <С. Така получаваме, че търсеният ъгъл <MNB=<KNM=10.