Може ли някой да предложи решение?

barlow · Начинаещ Регистриран на: 04 Apr 2007 Мнения: 6

Имах проблеми с една особена задача, не знам как да започна. Ако някой има идеи за решение, ще ми е от голяма полза... :(
а) Да се докаже, че за всеки две неотрицателни числа x и y е изпълнено неравенството sqr(x) + sqr(y) + x + y - 3xy >= 0
б) Да се докаже, че за всеки три положителни числа а, b и c така, че abc=1, е изпълнено неравенството 1/(а+2) + 1/(b+2) + 1/(c+2) <= 1.

Реклама

omeganet · Пуснато на: Fri Jul 13, 2007 1:53 pm Заглавие:

[tex]\left. \begin{array}{l} x + y \ge xy \\ x^2 + y^2 \ge 2xy \\ \end{array} \right\rangle \Rightarrow x^2 + y^2 + x + y \ge 3xy[/tex]

omeganet · Пуснато на: Fri Jul 13, 2007 2:03 pm Заглавие:

Допускаме, че е изпълнено обратното неравенство.
[tex] abc = 1 \\ \frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} > 1 \\ (a + 2)(b + 2) + (a + 2)(c + 2) + (b + 2)(c + 2) > (a + 2)(b + 2)(c + 2) \\ ab + bc + ac + 4a + 4b + 4c + 12 > abc + 2ab + 2bc + 2ac + 8 \\ ab + bc + ac < 3 \\ \\ \frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}} = 1 \Rightarrow a + b + c \ge 3 \\ \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{3} \ge sqrt[3]{{\left( {abc} \right)^2 }} = 1 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge 3 \\ \left( {a + b + c} \right)^2 \ge 9 \\ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \ge 9 \\ 2(ab + bc + ac) \ge 6 \\ ab + bc + ac \ge 3 \\ [/tex]