 Регистрирайте се
Обвиваща повърхнина на семейство конусни повърхнини.
|
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
  
|
 Пуснато на: Wed Apr 04, 2007 4:00 pm Заглавие: Обвиваща повърхнина на семейство конусни повърхнини. |
|
|
Имам семейство конусни повърхнини размножени така, че върховете им да лежат на една и съща винтова линия, а осите им са успоредни на оста на винтовата линия. (Дано да съм успял да си формулирам правилно въпроса)
Как да намеря обвивката на семейството конусни повърхнини ?
Всъщност целта ми е да открия каква ще бъде обвивката на тези повърхнини когато върховете на конусите отстоят един от друг на мнооооого малки разстояния...
 |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Thu Apr 05, 2007 10:38 am Заглавие: |
|
|
Не си дал никакви уравнения, затова карам на око по чертежа.
Взимаш ортогонална декатрова координатна система
K:0xyz
Ако винтовата линия V спрямо K има параметризация:
V:
x = a cos t
y = a sin t
z = bt
t E R
(a, b E R - фиксирани параметри на кривата V),
а един конус e с връх М=(x0, y0, z0) , (M E V) и управителна линия
C:
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2
z = z0+h
(r, h E R - фиксирани параметри на кривата C),
то уравнението на фамилията конуси спрямо K е:
(x - a cos t)2 + (y - a sin t)2 - r2/h2(z - bt)2 =0
t E R
Тогава уравнението на обвивката се генерира от системата:
(x - a cos t)2 + (y - a sin t)2 - r2 /h2(z - bt)2 = 0
2ax sin t - 2ay cos t + 2br2/h2(z - bt) = 0
чрез изключване на параметъра t. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Thu Apr 05, 2007 1:34 pm Заглавие: |
|
|
| Infernum написа: | Не си дал никакви уравнения, затова карам на око по чертежа.
Взимаш ортогонална декатрова координатна система
K:0xyz
Ако винтовата линия V спрямо K има параметризация:
V:
x = a cos t
y = a sin t
z = bt
t E R
(a, b E R - фиксирани параметри на кривата V),
а един конус e с връх М=(x0, y0, z0) , (M E V) и управителна линия
C:
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2
z = z0+h
(r, h E R - фиксирани параметри на кривата C),
то уравнението на фамилията конуси спрямо K е:
(x - a cos t)2 + (y - a sin t)2 - r2/h2(z - bt)2 =0
t E R
Тогава уравнението на обвивката се генерира от системата:
(x - a cos t)2 + (y - a sin t)2 - r2 /h2(z - bt)2 = 0
2ax sin t - 2ay cos t + 2br2/h2(z - bt) = 0
чрез изключване на параметъра t. |
Такаааа...
Първо, нека изкажа отново своята благодарност към теб , защото ми помагаш вече за втори път с подобен тип задачи.
Първата беше за Тангента към Архимедова спирала
За съжаление си забравих паролата за стария ник.
Сега по въпроса, с моите скромни възможности успях да ти проследя мисълта до последните три уравнения:
| Infernum написа: |
то уравнението на фамилията конуси спрямо K е:
(x - a cos t)2 + (y - a sin t)2 - r2/h2(z - bt)2 =0
t E R
Тогава уравнението на обвивката се генерира от системата:
(x - a cos t)2 + (y - a sin t)2 - r2 /h2(z - bt)2 = 0
2ax sin t - 2ay cos t + 2br2/h2(z - bt) = 0
чрез изключване на параметъра t. |
На потъмнените места не съм много наясно защо така става ?!?
Няма ли да е по-вярно ако нещата са ето така :
(x - a cos t)2 + (y - a sin t)2 - r2.(z - bt)2/h2 =0(
и от тук производната спрямо t:
2ax sin t - 2ay cos t + 2br2.(z - bt)/h2 = 0.
И имам друг въпрос . Това изключване на параметъра t как да го разбирам ? Трябва да намеря особено решение на системата уравнения, като реша едно от двете уравнения спрямо t и заместя в другото уравнение ???
Ако е така , значи лоша работа, защото тая задача е нерешима с моите математични способности 
Но ще се опитам все пак ... |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Thu Apr 05, 2007 6:39 pm Заглавие: |
|
|
Здравей. Много се радвам, че отново мога да ти бъда полезен. Задачите, които предлагаш са ми изключително интересни и се радвам, че има материал за обсъждане.
Нека сега да изясня:
По принцип записите:
3/4х, 3х/4, х3/4, 3/4*х, 3*х/4 х*3/4, означават едно и също нещо, а именно три четвърти хикс.
3/4х не бива да се смесва с 3/(4х), което означава 3 върху четири пъти хикс, както х3/4 със х3/4
Така че ти много правилно се ориентираш към "по-вярното", но всъщност моя запис означава точно това, за което питаш.
Сега на въпроса.
Изключването на параметъра t по принцип се прави, като се прилагат някои операции над двете уравнения като повдигане на квадрат събиране и изваждане, коренуване и т.н. докато се получи едно уравнение относно x, y, z.
Например ако имаш параметричното уравнение:
x = а cos t
y= b sin t ,
параметъра t може да се изключи по следния начин:
Първо се разделя едното уравнение на а, а другото на b.
Ще се получи:
x/a = cos t
y/b = sin t
Сега повдигаш двете уравнения в квадрат и ги събираш.
Ще се получи:
(x/a)^2 + (y/b)^2 = (cos t)^2 + (sin t)^2 = 1
Така се стигна до единственото уравнение относно х и у.
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
с което параметъра t e изключен.
Последната промяна е направена от Infernum на Sat Sep 15, 2007 12:07 am; мнението е било променяно общо 2 пъти |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Fri Apr 06, 2007 12:54 am Заглавие: |
|
|
Здрасти отново.
Бих ли могъл да направя така :
cos(t)=x/a
sin(t)=y/a
тогава 2ax sin t - 2ay cos t + 2br2/h2(z - bt) = 0
придобива вида
2br2.(z - bt)/h2 = 0
След кратки преобразувания-
2br2z - bt = 0
t=2r2z
Заместваме t в уравнение
(x - a cos t)2 + (y - a sin t)2 - r2 /h2(z - bt)2 = 0
и получаваме нещо ужасно сложно което вече не мога да разплета...
Май ще ми трябва допълнителна помощ
Колкото до това за какво точно ми трябва обвивката...
Самата задача е напълно реална и често срещана в машиностроенето. Ето каква е целта на задачата:
Имаме един прав кръгов конус, който се придвижва по винтова линия. При това придвижване, конусът описва една сложна винтова повърхнина (обвивката на семейството конусни повърхнини). Тази винтова повърхннина ми е много необходима за едни други, по-нататъчни и доста сложни геометрични проверки.
След няколко дневно мислене реших да направя математичен модел който да може да опише тази винтова повърхнина. Целта ми е, като задам няколко точно избрани от мен стойности на Х и У, да получа съответни стойности по Z. Именно тези стойности по Z са ми нужни за по-нататъчните проверки...
Като идея всичко е супер номерът е, че закъсах с извеждането на зависимостите... |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Tue Apr 10, 2007 11:47 am Заглавие: |
|
|
| sashetoo написа: | Здрасти отново.
Бих ли могъл да направя така :
cos(t)=x/a
sin(t)=y/a
тогава 2ax sin t - 2ay cos t + 2br2/h2(z - bt) = 0
придобива вида
2br2.(z - bt)/h2 = 0
|
Здр.
Така не може. Координатите x, у, z за един конус от фамилията са принципно различни от тези на винтовата линия.
cos(t)=x/a
sin(t)=y/a
са само координатите на проекциите на върховете на конусите в равнината Оху.
В декартови координати уравнението на обвивката би изглеждало ужасяващо. Параметъра може да се изключи, обаче уравнението, което се получава е много трудно за изследване, то приема различен вид за различни области от тримерното пространство, които от своя срана зависят от стойностите на параметрите на конусите и винтовата линия. Уравнението, което евентуално може да се получи, със сигурност няма да може да бъде решено относно z, ще ти трябва и числен метод ако за някакви х и у от определена област искаш да намериш съответното z от обвивката.
Нещата могат да се опростят значително, ако дадеш точни стойности на параметрите на винтовата линия и на един конус от фамилията, както и броя на навивките на винтовата линия.
Аз пък ще помисля за някава параметризация на обвивката в общ вид. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Wed Apr 11, 2007 10:57 am Заглавие: |
|
|
Значи това, за което си мисля е, че щом искаш за конкретни стойности на координатите х и у да намериш съответната z координата от обвивката, не е наложително да разполагаш с уравнението на самата обвивка или някаква нейна параметризация.
Все пак системата
(*)
(x - a cos t)2 + (y - a sin t)2 - r2 /h2(z - bt)2 = 0
2ax sin t - 2ay cos t + 2br2/h2(z - bt) = 0
е генерираща за обвивката, така че може да се оперира с нея, вместо със самото уравнението на обвивката.
Идеята е, че може да да заместиш в системата (*) някакви х и у, в резултат на което да се получи ситема относно z и t.
Тъй като ще трябва да се решава числено една нелинейна система, трябва да се определи областта в която ще се търси приближеното решение. Понеже конусите от фамилията са безкрайни, обвивката която би се получила от системата (*) би представлявала една сложна повърхнина, която се самопресича в някакви сложни пространствени криви линии. Зада се избегне този проблем ще е удобно тези конуси да се ограничат малко, така че да се получат конусите от картинките на чертежите. Затова се налагат следните ограничения:
За точките, чиито координати х и у ще се заместват в (*), се вземат само точките от областта:
D : {(x, y) E R2 : (a - r)2 <= x2 + y2 <= (a + r)2}
(това е еднин пръстен, в който се проектира обвивката при подрязване на конусите)
Приближеното решение, което може да се намери по някой от добре известните числени методи за решаване на нелинейни системи, се търси в областта:
М : {(t, z) E R2 : 2(k-1)п <= t <= 2kп, bt <= z < bt + h}
където k E N е к-тата поредна навивка на винтовата линия.
Не бива да се забравя, че за параметрите на винтовата линия и конусите се налагат ограниченията:
а > 0
b > 0
h > 0
a > r
За точките от областта D, за които
x2 + y2 < а2 , се описва вътешния клон на обвивката, а за точките от областта D, за които
x2 + y2 > а2 - външния.
Трябва да се отбележи, че при голямо h и малко r (много остри конуси), за точките от областта D, близки до окръжността
x2 + y2 = а2 (а и не само за тях) могат да възникннат големи неточности в числения метод за решаване на (*) , което да доведе големи отклонения в стойностите на z и t, защото повърхнината на обвивката става много стръмна. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Thu Apr 12, 2007 12:18 am Заглавие: |
|
|
| Infernum написа: | Значи това, за което си мисля е, че щом искаш за конкретни стойности на координатите х и у да намериш съответната z координата от обвивката, не е наложително да разполагаш с уравнението на самата обвивка или някаква нейна параметризация.
Все пак системата
(*)
(x - a cos t)2 + (y - a sin t)2 - r2 /h2(z - bt)2 = 0
2ax sin t - 2ay cos t + 2br2/h2(z - bt) = 0
е генерираща за обвивката, така че може да се оперира с нея, вместо със самото уравнението на обвивката.
Идеята е, че може да да заместиш в системата (*) някакви х и у, в резултат на което да се получи ситема относно z и t.
Тъй като ще трябва да се решава числено една нелинейна система, трябва да се определи областта в която ще се търси приближеното решение. Понеже конусите от фамилията са безкрайни, обвивката която би се получила от системата (*) би представлявала една сложна повърхнина, която се самопресича в някакви сложни пространствени криви линии. Зада се избегне този проблем ще е удобно тези конуси да се ограничат малко, така че да се получат конусите от картинките на чертежите. Затова се налагат следните ограничения:
За точките, чиито координати х и у ще се заместват в (*), се вземат само точките от областта:
D : {(x, y) E R2 : (a - r)2 <= x2 + y2 <= (a + r)2}
(това е еднин пръстен, в който се проектира обвивката при подрязване на конусите)
Приближеното решение, което може да се намери по някой от добре известните числени методи за решаване на нелинейни системи, се търси в областта:
М : {(t, z) E R2 : 2(k-1)п <= t <= 2kп, bt <= z < bt + h}
където k E N е к-тата поредна навивка на винтовата линия.
Не бива да се забравя, че за параметрите на винтовата линия и конусите се налагат ограниченията:
а > 0
b > 0
h > 0
a > r
За точките от областта D, за които
x2 + y2 < а2 , се описва вътешния клон на обвивката, а за точките от областта D, за които
x2 + y2 > а2 - външния.
Трябва да се отбележи, че при голямо h и малко r (много остри конуси), за точките от областта D, близки до окръжността
x2 + y2 = а2 (а и не само за тях) могат да възникннат големи неточности в числения метод за решаване на (*) , което да доведе големи отклонения в стойностите на z и t, защото повърхнината на обвивката става много стръмна. |
Благодаря отново за помощта.
Знаех си, че бъркам нещо с моите разсъждения...
Лошото е, че и в момента бъркам когато се опитвам да реша системата уравнения Не стигам до никъде, може би е защото минава полунощ и вече съм доста изморен...
Дста ме смусщава това , че :
a>r
Ако е задължително това условие, тогава нещата са доста ограничени от към практическа гледна точка, и трудно биха могли да ми свършат лично на мен работа
Нека си кажа входните данни и да видим дали може да се получи задоволителен резултат. Чертожната програма с която работя веднага може да начертае обвиващата повърхнина при положение, че имаме винтовата линия, и надлъжното сечение на профилът й.
За моите цели ми трябват поне 5-6 точки от единия клон на винтовата повърхнина, лежащи в надлъжното й сечение.
Тази повърхнина е нещо подобно на резба, е ... резба е много грубо казано , но поне на външен вид много прилича.
Та за да начертая тази "резба" ми трябва нейния надлъжен профил поне на една нейна навивка!!!
Та ето ги и входните данни:
a=1mm e радиусът на винтовата линия;
b=P/pi;
P=2mm - стъпка на "резбата";
r=3,5mm - радиус на основата на конуса;
h=3mm - височина на конуса.
За
x=0mm
y=6; 6,5; 7; 7,5 и 8mm
при t=const (не съм много наясно но си мисля, че ще е супер ако t=pi/2)
тогава колко ще излезе z?
Предполагам, че със задаването на точно определена стойност на t още от самото начало нещата ще се опростят ?!?
Много ли е трудно решаване на уравненията по този начин? |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Thu Apr 12, 2007 6:01 pm Заглавие: |
|
|
От това дето пишеш започвам да си мисля, че зада прилича обвивката на резба, трябва осите на конусите да са перпендикулярни на оста на винтовата линия.  или бъркам
Условието
а > r , (r > 0) не e необходимо, направил съм недоглеждане в едни разсъждения. Възможно е и все още да има такива.
Пусни една картинка на обвивката, която получаваш да я видим
Някъде ми се струва, че правим грешка.
И не мога да разбера на кое казваш надлъжен профил на винтовата линия. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Thu Apr 12, 2007 6:17 pm Заглавие: |
|
|
Има и друго нещо.
От генериращата система (*) се вижда, че за всяка фиксирана стойност на t е налице пресичане на един конкретен конус от фамилията с една конкретна равнина (второто уравнение на (*) е уравнение на равнина).
При определени стойности на a > 0, b > 0, r > 0, h > 0 , по-точно такива стойности, при които br/(ah) <= 1, тази равнина пресича съответния конус в двойка образуващи, на които мога да ти кажа уравненията. Тези прави са образуващи и за обвивката, обаче при
br/(ah) > 1 тая равнина няма общи точки с конуса освен върха. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Mon Apr 16, 2007 1:38 pm Заглавие: |
|
|
Здравей отново, нямах възможност да отговоря през уикенда.
Сега съм на работа и ще се опитам да изясня някой неща.
Първо по въпроса с "резбата"...
1. Нека си представим, че конусите от първата картинка от темата не са така остри, т.е. височината им h е доста по-малка;
2. Да си представим, че винтовата линия по която се размножават конусите е със стъпка P=2.h ;
3. Да си представим, че към основата на конуса е прилепен още един конус със същата основа и със същата височина като първия конус.
Като ги размножим по винтовата линия се получава нещо което доста наподобява "резба". Колкото стъпката между отделните конуси е по-малка, толкова повече семейството конуси започва да прилича на "резба".
 |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Mon Apr 16, 2007 3:49 pm Заглавие: |
|
|
Сега мисля, че вече всичко е ясно.
По въпроса за надлъжното сечение, ами това е сечението по дължина на винтовата линия , дано да се разбира от картинката по-долу
 |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Mon Apr 16, 2007 3:51 pm Заглавие: |
|
|
| Infernum написа: |
При определени стойности на a > 0, b > 0, r > 0, h > 0 , по-точно такива стойности, при които br/(ah) <= 1, тази равнина пресича съответния конус в двойка образуващи, на които мога да ти кажа уравненията. |
Сечението на надлъжната равнина от горната картинка с обвиващата повърхнина на семейството конусни повърхнини не е права линия!!! |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Tue Apr 17, 2007 3:45 pm Заглавие: |
|
|
Виж сега какво си мисля аз. Да погледнем внимателно системата (*). За всяка фиксирана стойност на t първото уравнение дава двойка безкрайни конуси (тази двойка дава една конична повърхнина от фамилията). Двойката конуси е с общ връх - точка от винтовата линия или с други думи върха на коничната повърхнина лежи върху линията. За същата фиксирана стойност на t, второто уравнение дава една конкретна равнина, която минава през върха на коничната повърхнина, определена от първото уравнение. Сечението на коничната повърхнина с тази равнина, при определени стойности на параметрите на повърхнината и линията, дава двойка образуващи на коничната повърхнина, защото равнината минава през върха и. Е тая двойка образуващи трябва да са образуващи и на обвиващата повърхнина, когато t се изменя. Обаче това, което мен ме притеснява е че при br/(ah)>1 сечението на повърхнините от система (*) е само във точките от винтовата линия а при br/(ah)=1 само в една образуваща. Освен да пуснеш една картинка с данни когато br/(ah)=1 и br/(ah)>1 да видим какво ще стане.
До колкото разбрах надлъжно сечение казваш на сечението с равнина "перпеникулярна" на винтовата линия (нормалния вектор на тази равнина в точката, в която се строи е всъщност допирателния вектор към кривата в същата точка). Тази равнина се нарича ректифицираща равнина. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Tue Apr 17, 2007 3:58 pm Заглавие: |
|
|
| sashetoo написа: |
Сечението на надлъжната равнина от горната картинка с обвиващата повърхнина на семейството конусни повърхнини не е права линия!!! |
Да, обаче това сечение не е генериращо за обвивката. Второто уравнение на (*) не е уравнението на ректифициращата равнина на винтовата линия. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Tue Apr 17, 2007 4:10 pm Заглавие: |
|
|
| Infernum написа: | Виж сега какво си мисля аз. Да погледнем внимателно системата (*). За всяка фиксирана стойност на t първото уравнение дава двойка безкрайни конуси (тази двойка дава една конична повърхнина от фамилията). Двойката конуси е с общ връх - точка от винтовата линия или с други думи върха на коничната повърхнина лежи върху линията. За същата фиксирана стойност на t, второто уравнение дава една конкретна равнина, която минава през върха на коничната повърхнина, определена от първото уравнение. Сечението на коничната повърхнина с тази равнина, при определени стойности на параметрите на повърхнината и линията, дава двойка образуващи на коничната повърхнина, защото равнината минава през върха и. Е тая двойка образуващи трябва да са образуващи и на обвиващата повърхнина, когато t се изменя. Обаче това, което мен ме притеснява е че при br/(ah)>1 сечението на повърхнините от система (*) е само във точките от винтовата линия а при br/(ah)=1 само в една образуваща. Освен да пуснеш една картинка с данни когато br/(ah)=1 и br/(ah)>1 да видим какво ще стане.
До колкото разбрах надлъжно сечение казваш на сечението с равнина "перпеникулярна" на винтовата линия (нормалния вектор на тази равнина в точката, в която се строи е всъщност допирателния вектор към кривата в същата точка). Тази равнина се нарича ректифицираща равнина. |
Относно надлъжното сечение:
На картинките които постнах се вижда една ос наименована Axis1. Тази ос е елемент на Равнината на сечението, тост елемент на равнината в която лежат сините "РОМБОВЕ".
Оххх  Аз съм машинен инженер, надлъжно сечение или разрез в машиностроенето е онова сечение което е по дължина на целия детайл или възел , или по оста на детайла.
Надлъжното сечение на едина ФРАНЗЕЛА (дългия хляб) прилича на парвоъгълник със заоблени краища, а напречното сечение на Франзелата е с форма на окръжност (филийка) , така ми е най-лесно да го опиша
Относно образуващите на обвиващата повърхнина:
Утре ще проверя как стоят нещата с тая пуста равнина минаваща през върха на един от конусите... |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Tue Apr 17, 2007 4:22 pm Заглавие: |
|
|
АААА , ясно сега разбрах. Ти сечеш с равнини които минават през една координатна ос. Не разбирам обаче защо ти е това.
По принцип система (*) е генерираща за обвивката. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Tue Apr 17, 2007 9:24 pm Заглавие: |
|
|
| Infernum написа: | АААА , ясно сега разбрах. Ти сечеш с равнини които минават през една координатна ос. Не разбирам обаче защо ти е това.
По принцип система (*) е генерираща за обвивката. |
Работя с една чертожна програма. Много лесно мога да начертая обвивката на семейството конусни повърхнини, ако имам :
1. Винтовата линия по която са разположени върховете на конусите - (синята винтова линия която се вижда на първата и втората картинки които съм постнал);
2. Пресечниците на обвиващата повърхнина с въпросната надлъжна равнина.
Всъщност от точка две ми е необходимо да знам само присичницата в участък с дължина една стъпка от винтовата линия...
Мога да построя равнини разположени където поискам, но ми е най-удобно, въпросната равнина в която лежат пресечниците от т.2 да е равнина YZ от координатната система K: Oxyz (т.е. Точките по които мога да опиша пресечниците да са с координати по ос Ох - х=0)
Ако могат да се намерят координатите на серия точки от ОБВИВАЩАТА ПОВЪРХНИНА лежащи в равнина YZ от координатната система K: Oxyz при едно и също t тогава нещата ще са просто СУПЕР !!!
Всъщност серията точки от ОБВИВАЩАТА ПОВЪРХНИНА може да е разположени където и да е стига да се отнасят за един и същи ъгъл t .
Лошото е, че не можах да разбера как се използва тази система (*)
Извинявай , за теб решаването на подобна система може да е елементарно, но нещо ми убягва... Едното уравнение явно е на конусна повърхнина, другото е на равнина пресичаща конуса и минаваща през неговия връх, как от тези две неща се получава обвиващата повърхнина?
Дали пресечниците на равнината с конусната повърхнина, да са образуващите линии на ОБВИВАЩАТА ПОВЪРХНИНА, а СИНЯТА винтова линия да се явява направляваща ? Плъзваме образуващите линии по винтовата направляваща линия и получаваме ОБВИВАЩАТА ПОВЪРХНИНА ?!?!? |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Mon Apr 23, 2007 10:02 pm Заглавие: |
|
|
| sashetoo написа: |
Дали пресечниците на равнината с конусната повърхнина, да са образуващите линии на ОБВИВАЩАТА ПОВЪРХНИНА, а СИНЯТА винтова линия да се явява направляваща ? Плъзваме образуващите линии по винтовата направляваща линия и получаваме ОБВИВАЩАТА ПОВЪРХНИНА ?!?!? |
Ами така си мисля. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Tue Apr 24, 2007 12:33 pm Заглавие: |
|
|
| Infernum написа: | | sashetoo написа: |
Дали пресечниците на равнината с конусната повърхнина, да са образуващите линии на ОБВИВАЩАТА ПОВЪРХНИНА, а СИНЯТА винтова линия да се явява направляваща ? Плъзваме образуващите линии по винтовата направляваща линия и получаваме ОБВИВАЩАТА ПОВЪРХНИНА ?!?!? |
Ами така си мисля. |
Привет.
Пресечниците на равнината , когато х=0 и t=pi/2 (т.е. YZ)с конусната повърхнина са прави линии.
Именно това е нередното, защото пресечницата на обвиващата повърхнина със същата равнина YZ не са прави линии.
Ох , лоша работа
Бъркаме някъде, или нещо не ми е съвсем ясно и правя грешки при заместванията |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Tue Apr 24, 2007 10:49 pm Заглавие: |
|
|
Може да се измисли някаква друга система от която да се генерира обвивката. Примерно тая повърхнина, ако не се лъжа, може да се получи по следния начин.
От уравнението на винтовата линия:
x = acos t
y = asin t
z = bt ,
за всяка стойност на t получаваш точка от винтовата линия.
Взимаш сега една равнина минаваща през оста 0z и точката съответстваща на текущата стойност на t. Така за всяко t се получава една конкретна равнина от снопа
y cos t = x sin t
В тая равнина взимаш двойка прави, които се пресичат в точка от винтовата линия (точка с координати (acos t, asin t, bt)) и сключващи постоянно, равни ъгли с права успоредна на оста 0z. Така когато t се изменя и се определят параметричните уравненията на двойката прави, удовлетворяващи горните условия, ще се получи друга генерирща система за повърхнината.
Обаче ще трябва да помисля, зада изведа уравненията.
По принцип, според мен, няма начин сечението на обвивката с равнина през оста 0z да не е в двойка прави. Погледнах един чертеж и смятам, че си се заблудил за формата на сечението, защото си пресякъл не обвивката с осна равнина ами някой друг конус от фамилията. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Thu Apr 26, 2007 9:23 am Заглавие: |
|
|
| Infernum написа: | Може да се измисли някаква друга система от която да се генерира обвивката. Примерно тая повърхнина, ако не се лъжа, може да се получи по следния начин.
От уравнението на винтовата линия:
x = acos t
y = asin t
z = bt ,
за всяка стойност на t получаваш точка от винтовата линия.
Взимаш сега една равнина минаваща през оста 0z и точката съответстваща на текущата стойност на t. Така за всяко t се получава една конкретна равнина от снопа
y cos t = x sin t
В тая равнина взимаш двойка прави, които се пресичат в точка от винтовата линия (точка с координати (acos t, asin t, bt)) и сключващи постоянно, равни ъгли с права успоредна на оста 0z. Така когато t се изменя и се определят параметричните уравненията на двойката прави, удовлетворяващи горните условия, ще се получи друга генерирща система за повърхнината.
Обаче ще трябва да помисля, зада изведа уравненията.
По принцип, според мен, няма начин сечението на обвивката с равнина през оста 0z да не е в двойка прави. Погледнах един чертеж и смятам, че си се заблудил за формата на сечението, защото си пресякъл не обвивката с осна равнина ами някой друг конус от фамилията. |
Ох , по този начин до никъде не стигаме.
Нека сега изясним едно !!! Пресечниците на Обвиващата повърхнина на семейство Прави Кръгови конуси, върховете на които са разположени по винтова линия, с Равнината YZ не са прави линии !!!
Именно това ме накара да се задълбая по-дълбоко в извеждането на някакъв математичен модел за тая пуста обвиваща повърхнина
Сега по въпроса за другия начин на извеждане на математичните зависимости:
Има едно нещо за което не се замислихме, има едно условие което задължително трябва да е изпълнено!!!
Условието е :
Повърхнината на всеки конус от семейството конусни повърхнини е ТАНГЕНТНА на обвиващата повърхнина.
Нека разгледаме само една от точките на контакт (допиране, тангиране) между обвиващата повърхнина и съответната конусна повърхнина, от семейството конуси. В тази точка на допиране конусът и обвивката имат ОБЩА НОРМАЛА И ОБЩА ТАНГЕНТА.
Това помага ли ? |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Infernum
Фен на форума
Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740
гласове: 20
|
| Пуснато на: Thu Apr 26, 2007 11:37 am Заглавие: |
|
|
| sashetoo написа: |
Ох , по този начин до никъде не стигаме.
Нека сега изясним едно !!! Пресечниците на Обвиващата повърхнина на семейство Прави Кръгови конуси, върховете на които са разположени по винтова линия, с Равнината YZ не са прави линии !!!
Именно това ме накара да се задълбая по-дълбоко в извеждането на някакъв математичен модел за тая пуста обвиваща повърхнина |
Бъркаш.
Все едно ми казваш, че сечението на конус с равнина, минаваща през върха и през две точки от управителната му линия, не е в двойка прави линии. Стига си вяравал само на очите си. Това, че на чертежа ти изглежда, че сечението не е в прави линии не означава, че това не е така. Конусът е праволинейна повърхнина, така че при движението му по винтова линия, би се образувала отново праволинейна повърхнина.
| sashetoo написа: |
Сега по въпроса за другия начин на извеждане на математичните зависимости:
Има едно нещо за което не се замислихме, има едно условие което задължително трябва да е изпълнено!!!
Условието е :
Повърхнината на всеки конус от семейството конусни повърхнини е ТАНГЕНТНА на обвиващата повърхнина.
Нека разгледаме само една от точките на контакт (допиране, тангиране) между обвиващата повърхнина и съответната конусна повърхнина, от семейството конуси. В тази точка на допиране конусът и обвивката имат ОБЩА НОРМАЛА И ОБЩА ТАНГЕНТА.
Това помага ли ? |
Системата (*) е генерирана точно по тези условия.
Сега да дам най-сетне окончателното решение.
Образуваш си повърхнината, чието уравнение спрямо координатната система К:0xyz, има параметризация:
(1)
x = (a + λr)cos t
y = (a + λr)sin t
z = bt + |λ|h
λ Е [-1, 1] , t E R
(a>0, b>0, r>0, h>0)
Това е уравнението на обвивката.
Наистина:
При всяко фиксирано λ и променливо t, от (1) се получава една винтова линия.
При всяко фиксирано t и променливо λ, от (1) се получава една отсечка с уравнение:
(2)
(x - acos t)/(rcos t) = (y - asin t)/(rsin t) = (z - bt)/±h
λ Е [-1, 1]
Знакът се взима в зависимост от това дали λ>0 или, не съответно.
Следователно, когато λ и t се изменят независимо и приемат стойности от областта
P = {(λ, t) E R2:λ Е [-1, 1], t E R }, параметризацията (1) описва една винтова повърхнина, която е уравнение на обвивката на фамилията конуси.
Зада се убедиш в това, ще докажа, че за всяко t > 0, отсечката с уравнение (2) е образуваща на конуса
(3)
(x - acos t)2 + (y - asin t)2 - r2/h2(z - bt)2 = 0
Наистина, очевидно отсечката зададена с (2) минава през върха на конуса зададен с (3). Зада е образуваща тази отсечка, за този конус, трябва да се провери дали тя пресича управителната линия на конуса.
Управителната линия на конуса (3) е:
(4)
(x - acos t)2 + (y - asin t)2 = r2
z = bt + h
Пресичаш правата (2) с управителната линия (4), (която е една окръжност в пространството получена от пресичането на цилиндъра
(x - acos t)2 + (y - asin t)2 = r2 с радиус r и равнината z = bt + h), като заместиш x, y и z от (1) в (4).
На практика това означава да се провери има ли стойност на λ, за която точката от отсечката (2) съответстваща на тази стойност, да е точка от управителната линия (4).
Като направиш това заместване и извършиш преобразуванията ще получиш системата:
λ2 = 1
1 = ±λ
И така за λ = ±1 отсечката (2) минава през окръжността (4), следователно тя е образуваща за конуса (3) (защото минава и през върха му). На практика с (2) се задават едновременно две отсечки. Едната се описва за -1<= λ <=0 а другата за 0<= λ <=1. И двете отсечки обаче се оказват образуващи за конуса (3). Така за всяко t>0 се оказа, че повърхнината зададена с (1) и конуса зададен с (3) се допират в отсечката зададена с (2).
Следователно параметричното уравнение на обвивката е уравнение (1).
Между другото от това уравнение лесно може да се изключат параметрите λ и t и да се намери декартовото уравнение на повърхнината.
С това смятам задачата за решена. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
sashetoo
Начинаещ
Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18
|
| Пуснато на: Thu Apr 26, 2007 5:23 pm Заглавие: |
|
|
Благодаря много за всички твои изчерпатенти отговори !!!
В момента съм прекалено изморен за да вникна детайлно в нещата от последният ти пост.
Надявам се да стане най-накрая тая пуста обвивка
Ще пиша скоро за резултата...
Багодаря за отзивчивостта още веднъж.
При мен редовно има такива задачи, но с тази си признавам, че не можах да се преборя |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
