Две функции с параметър

[Eragon300]

Дадени са функциите f(x)=x² + 2a*x + a² -1 и g(x)=a*x² + 2*x-5, където а е параметър.

а) При а = -1 решете неравенствата f(x)<=g(x) и |f(x)|<=|g(x)|
б) За кои стойности на а неравенството |x² + 2a*x + a² - 1|<= |a*x² + 2*x-5| е изпълнено за всяко x ?

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]f(x)=x^2+2ax+a^2-1, g(x)=ax^2+2x-5[/tex]
При [tex]a=-1[/tex] получаваме съответните стойности на функциите: [tex]f(x)=x^2-2x, g(x)=-x^2+2x-5[/tex]. Сега просто заместваме в дадените неравенства и решаваме:
[tex]*\, f(x)\le g(x) \Leftrightarrow x^2+2ax+a^2-1\le ax^2+2x-5 \Leftrightarrow x^2-2x\le -x^2+2x-5 \Leftrightarrow 2x^2-4x+5\le 0[/tex], което няма решения;
[tex]*\, |f(x)|\le |g(x)| \Leftrightarrow |x^2+2ax+a^2-1|\le |ax^2+2x-5| \Leftrightarrow |x^2-2x|\le |-x^2+2x-5|[/tex].
Но [tex]|t(x)|=t(x)[/tex] при [tex]t(x)\ge 0[/tex] и [tex]|t(x)|=-t(x)[/tex] при [tex]t(x)\le 0[/tex]. Оттук [tex]|t(x)|^2=t^2(x)=[-t(x)]^2[/tex]. Тогава неравенството можем да запишем като [tex]|f(x)|^2\le |g(x)|^2 \Leftrightarrow f^2(x)\le g^2(x) \Leftrightarrow f^2(x)-g^2(x)\le 0 \Leftrightarrow [f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]\le 0[/tex]. Повдигаме на квадрат двете страни на неравенството, защото те са винаги неотрицателни и имаме право да извършваме тази операция. В такъв случай получаваме
[tex][f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]\le 0 \Leftrightarrow (\cancel {x^2}-\cancel {2x}-\cancel {x^2}+\cancel {2x}-5)(x^2-2x+x^2-2x+5)\le 0 \Leftrightarrow 2x^2-4x+5\ge 0 \Leftrightarrow x\in (-\infty;+\infty)[/tex].