Задача със сечение от РУ

[Eragon300]

Основата на пирамида ABCDM е квадратът ABCD, а околният ръб DM е
перпендикулярен на равнината на основата. Радиусът на вписаната в
триъгълника ABM окръжност е r=3, а тангесът на ъгъл DAM е:
tg<DAM=sqrt(7)/3

а) Да се пресметне обемът на пирамидата.
б) През точка D е прекарана равнина, която е успоредна на AC и пресича ръба BM в средната му точка N. Да се пресметне лицето на полученото сечение.


Отг. а) V=81*sqrt(7)
b) S=45*sqrt(2)/2

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Дадена е пирамида с основа квадрата [tex]ABCD[/tex] и с връх [tex]M[/tex], при което [tex]DM\bot (ABCD)[/tex]. Също така радиусът [tex]r[/tex] на окръжността, вписана в [tex]\triangle ABM[/tex], е [tex]3[/tex] и [tex]\tan\angle DAM=\frac{\sqrt{7}}{3}[/tex]. Трябва да се определи обемът на пирамидата. За целта да означим [tex]AB=BC=CD=AD=x[/tex]. За удобство нека [tex]\angle DAM=\phi[/tex]. От [tex]\triangle ADM[/tex] имаме [tex]\tan\phi=\frac{DM}{AD} \Leftrightarrow DM=AD \tan\phi \Leftrightarrow DM=x \tan\phi[/tex]. Също така [tex]sin\phi=\frac{DM}{AM} \Leftrightarrow AM=\frac{DM}{sin\phi} \Leftrightarrow AM=\frac{x \tan\phi}{sin\phi} \Leftrightarrow AM=\frac{x}{cos\phi}[/tex].
Сега да пресметнем стойностите на тези тригонометрични функции. Тогава образуваме системата
[tex]\begin{array}{||}\tan\phi=\frac{\sqrt{7}}{3}\\sin^2 \phi+cos^2\phi=1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}\frac{sin\phi}{cos\phi}=\frac{\sqrt{7}}{3}\\sin^2\phi+cos^2\phi=1\end{array} \Rightarrow \\ \Rightarrow (\frac{\sqrt{7} cos\phi}{3})^2+cos^2\phi=1 \Leftrightarrow \frac{7 cos^2\phi}{9}+cos^2\phi=1 \Leftrightarrow \frac{16 cos^2\phi}{9}=1 \Leftrightarrow cos\phi=\frac{3}{4}[/tex], защото [tex]\phi\in (0^\circ;90^\circ)[/tex] и [tex]cos\phi>0[/tex].
По тази логика определяме и [tex]sin\phi=\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex].
Ако разгледаме [tex]\triangle BDM[/tex], забелязваме, че [tex]DM^2+BD^2=BM^2[/tex] (следва непосредствено от условието на задачата). Ясно е, че [tex]BD^2=2x^2[/tex]. Оттук получаваме [tex](x \tan\phi)^2+2x^2=BM^2 \Leftrightarrow BM^2=\frac{25x^2}{9} \Leftrightarrow BM=\frac{5}{3}x[/tex]. Сега проверяваме верността на равенството [tex]AM^2+AB^2=BM^2 \Leftrightarrow x^2+(\frac{4}{3}x)^2=(\frac{5}{3}x)^2 \Leftrightarrow x^2+\frac{16}{9}x^2=\frac{25}{9}x^2 \Leftrightarrow \frac{25}{9}x^2=\frac{25}{9}x^2[/tex], тоест [tex]\angle BAM=90^\circ[/tex].
По условие радиусът на окръжността, вписана в този триъгълник, е [tex]3[/tex]. Като отчетем, че [tex]S_{\triangle ABM}=pr[/tex] и [tex]S_{\triangle ABM}=\frac{AM.AB}{2}[/tex], и като приравним десните страни на двете формули, достигаме до
[tex]2.3.2x=\frac{4}{3}x.x[/tex] [tex](p=2x)[/tex] [tex]\Leftrightarrow 3.\cancel 4x=\frac{\cancel 4}{3}x^2 \Leftrightarrow \frac{x}{3}=3 \Leftrightarrow x=9[/tex]. Тук разделихме на [tex]x[/tex], защото то е винаги различно от нула. Сега вече за обема на пирамидата заместваме в познатата зависимост [tex]V_{ABCDM}=\frac{1}{3}Bh[/tex] и окончателно заключваме, че [tex]V_{ABCDM}=81\sqrt{7}[/tex].