<С = 90

[Methuselah]

Тая задача по много завъртян начин ми се струва че я решавам за това я пускам да видим някой хубав кратък начин.
Лицето на АВС <С=90 е 600. Намерете АВ и ВС ако правата през медицентъра и центъра на вписаната окръжност е успоредна на ВС.

[Реклама]

[Tony_89]

Нека успоредната на BC права да пресича AC в т.Q и AB в т.N
Нека средата на AB да е т.P
Нека медицентърът да е т.M

Лесно се доказва, че успоредната на BC права пресича AC в същата точка, в която вписаната окръжност се допира дo AC.

▲ MPN ~ ▲ CPB =>

=> PN/BP = PM/CP = 1/3

PN = BP/3

BP = c/2 =>

=> PN = c/6

AN = 2*c/3

▲ ANQ ~ ▲ ABC =>

=> AN/AB = AQ/AC = 2/3

AQ = 2*b/3

CQ = b/3 = r

2*r = a + b - c

2*b/3 = a + b - c

a = c - b/3

S_ABC = a*b/2 = (c - b/3)*b/2 = 600

(c - b/3)*b = 1200

c² = a² + b²

c² = (c - b/3)² + b²

c² = c² - 2*b*c/3 + b²/9 + b²

|2*b*c/3 - 10*b²/9 = 0
|(c - b/3)*b = 1200

[Methuselah]

Даам.. същата работа. Значи за всеки триъгълник за който е изпълнено това нещо страните му се отнасят както 3:4:5 и обратно. Но как се доказва?

[uktc]

П.П. Кога ще се науча, че е правилно да се пише ъглополОвяща?

[martin_bg]

Получава ми се а = 30 , б = 40 и с = 50 или а = 40 , б = 30 и с = 50. Разглеждам подобни триъгълници от успоредността и още 1 двойка подобни ( АБС подобен на триъгълника получен при пресичането на правата успоредна на БС с медианата и страната АС и върха С. Чрез отношенията намираш поотделно 2-те части на успоредната отсечка ( определени от пресичането и с медианата - ъглополовящата се използва за доказване , че радиуса на вписана к м който се допира до АС принадлежи на успоредната права и от там отсечката която се опразува е р - с). И вече от отношението на подобните АБС и триъгълника образуван от успоредната отсечка и върха А изразяваш третата връзка между а,б,с ( страните ) .

[r2d2]

Нека АВС е произволен триъгълник, в който центърът на вписаната окр. I и медицентърът G лежат на права l, успоредна на една от страните, например BC=а. Тогава 2а=b+c (страните образуват аритметична прогресия).
Означаваме АН - височина, AL - ъглополовяща, AМ - медиана. Т - пресечната точка на l с АН, K-допирната точка на вписаната до ВС. От подобните триъгълници АМ:GM=AH:TH=3:1=АН:IK=h:r. Получихме, че h=3r.

2S=h.a=(a+b+c).r или 3а=а+b+c, 2a=b+c. Очевидно е вярно и обратното!

uktc го е доказал, но по-дълго и май не му е обърнал внимание.

[r2d2]

[DevilFighter]