Зациклих на една задача

[cool_witch]

Моля за помощ - не мога да реша задачата:

Диагоналите на квадрата АBCD се пресичат в т. О, а М и N са средите съответно на отсечките BC и OD. Докажете, че:
а) точка N е център на описаната около триъгълник АСМ окръжност;
б) Триъгълник AMN е правоъгълен и равнобедрен.

Благодаря предварително!

[Реклама]

[martosss]

е ми за а.) е лесничко... ▲ADN ≈ ▲DNC (AD=DC, DN - обща, ъгъл ADN = ъгъл CDN) => NA = NC (1). Пускаме перпендикуляр NH от N към CM(H z CM). Имаме трапец OMCD, в който NH е средна отсечка(ON=ND и NH перпендиклярно на CM) => NH дели CM на две равни части => NH е медиана и перпендикуляр в ▲ CMN => ▲CMN - равнобедрен => NC = NM (2)
от (1) и (2) => NC=NM=NA(разстоянието от N до A, C и M е равно) => N е център на описаната окръжност около ▲ACM
от а.) веднага следва, че ▲AMN е равнобедрен, за това че е правоъгълен... чакай да помисля...

[martosss]

мда... ето го... от а.) имаме ▲ADN ≈ ▲DNC => ъгъл DAN = ъгъл DCN = α и

AN=NC => ▲ANC - равнобедрен и NO - височина => NO-ъглополовяща на ъгъл ANC => ъгъл ANO= ъгъл ONC
имаме ъгъл ANM= ъгъл ANO + ъгъл ONM = ANO + ONC - MNC = 2ANO-MNC=2(ADN + DAN(α)) - (180° - NCM - NMC) = 2*45° +2DCN(α) - 180°+2NCM= 2DCN+2NCM-90°,
но DCN+NCM=90° => ANM = 2*90°-90° = 90° изразяваш ъгли и си готов

[cool_witch]

Благодаря!

[Футуролог]

Горното решение си е вярно, просто пускам едно алтернативно такова, ей така, за забавление.

Нека Р е средата на страната СD.

а)

1) NР = NО

NР е средна отсечка в тр.ОСD, успоредна на страната ОС. Следователно NР = 1/2 ОС =1/2 DО = NО.

2) МР = АО

МР е средна отсечка в тр.DВС, успоредна на страната DВ. следователно МР = 1/2 DВ = 1/2 АС = АО.

3) <NРМ = 90

NР успредна на ОС и МР успоредна на DВ, като средни отсечки. Но DВ е перпенсдикулярна на ОС, следователно и NР е перпендикулярна на МР, т.е. NРМ = 90.

4) тр.NАО=тр.NМР

Следва от 1), 2) и 3) и факта, че <NОА=90.

5) NА=NМ=NС.

От 4) следва, че NА=NМ като съответни страни в еднакви триъгълници. Тъй като DВ е симетрала за АС и N лежи на DВ, то NА=NС.

5) доказва, че N е центъра на описаната около тр.АМС окръжност.


б) От а) следва, че централният ъгъл <АNМ = 2 * <АСМ = 2*45 = 90.