Малко помощ!

[asdqwezxc]

Нека p е нечетно просто число. Да се докаже, че произведението на произволни два примитивни корена на по модул p не е примитивен корен по модул p.

Ако някой има идея ще съм му благодарен!

[Реклама]

[martin123456]

нека [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са 2 примитивни корени по модул [tex]p[/tex], т.е. (например за [tex]a[/tex])за всяко [tex]x[/tex], което не се дели на [tex]p[/tex]: [tex]\exists k \in \mathbb{N}[/tex], че [tex]a^k \equiv x (mod p)[/tex]
[tex]a^k \in \{1,2,\ldots,p-1\} \forall k[/tex] и приема всички стойности в това множество.

разглеждаме [tex]ab[/tex]. допускаме че е примитивен корен. значи [tex](ab)^k \in \{1,2,\ldots,p-1\} \forall k[/tex] и приема всички стойности в това множество. можем да считаме че [tex]k \in {1,\ldots,p-1[/tex], понеже [tex]x^{p-1} \equiv 1 (mod p)[/tex]. значи [tex]\prod_{k=1}^{p-1}(ab)^k=(p-1)![/tex] <=> [tex](ab)^{\frac{(p-1)p}{2}} = (p-1)![/tex]. от теоремата на уилсън, дясната страна е -1 по модул p.
от това че a и b са примитивни остатъци => [tex]a^{\frac{(p-1)p}{2}} \equiv (p-1)! \equiv -1[/tex], аналогично за b => [tex]a^{\frac{(p-1)p}{2}}b^{\frac{(p-1)p}{2}} \equiv 1 (mod p)[/tex], т.е. дясната страна е 1.
противоречие

[asdqwezxc]

Благодаря ти много!
Аз, мислех че се доказва с една друга теорема, където се превръща в естествено число, ама явно съм грешал. Благодаря ти отново!