Биномен коефициент

[Пафнутий]

Да се докаже, че [tex]{n \choose k}\equiv 0(mod p)[/tex] за [tex]\forall k=\{1,...,n-1\}[/tex], тогава и само тогава, когато [tex]n=p^{\alpha}[/tex], където [tex]\alpha \in\mathbb{N}[/tex].

[Реклама]

[martin123456]

едната посока е очевидна
за другата, нека допуснем [tex]n=p^{\alpha}t[/tex],[tex](t,p)=1[/tex] (за [tex]k=1[/tex] се вижда [tex]p/n[/tex])
[tex]\forall x \in \mathbb{N}[/tex], [tex]x^n \equiv (x-1+1)^n \equiv (x-1)^n+1 \equiv (x-2+1)^n+1 \equiv (x-2)^n +2 \equiv \ldots \equiv x[/tex], заради зависимостта с биномните коефициенти
от друга страна [tex]x^n \equiv x^t[/tex]
=>[tex]x^t \equiv x[/tex]. нека най малкото ест число за което последното е вярно е [tex]s[/tex] (такова има, ала бала). [tex]s/p[/tex]=>[tex]s=p[/tex]. освен това [tex]p/t[/tex]. противоречие

[Baronov]

[martin123456]

да, прав си. ще си помисля как да продължа

[Baronov]

Само ще отбележа, че задачата следва веднага от:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas'_theorem, но ще е хубаво да се намери друго решение.