Интеграл : Докажете !

[Love Greez]

a) ∫ x² ln x dx = 1/3 x³ ln x - 1/9 x³ + C

b) ∫ √x²+1 dx = 1/2x√x²+1 + 1/2 ln(x+√x²+1)+C

Забележка : (x на степен втора + 1 е цялото под корен ! )

Благодаря предварително за помощта !

[Реклама]

[Natali lubitel]

Не разбирам немски . Вероятно искате обяснение как се смятат написаните в а) и б) интеграли? И за двата се използва интегриране по части. За
а) I=[tex]\int_{}^{ } x^2lnxdx=\frac{1}{3 } \int_{}^{ } lnxdx^3[/tex] Прилагаме формулата за интегриране по части и получаваме:
I=[tex]\frac{x^3.lnx}{ 3} -\int_{}^{ } \frac{x^3}{ 3.x} dx[/tex]
I=[tex]\frac{x^3.lnx}{ 3}-\frac{1}{ 3} \int_{}^{ } x^2dx[/tex] Т.е.
I=[tex]\frac{x^3.lnx}{ 3}-\frac{x^3}{ 9} +C[/tex].
По - късно ,ако имам възможност ще напиша и пресмятането на 2-я интеграл

[Natali lubitel]

Пропуснала съм заглавието - докажете.
Доказателството за б) :
Нека [tex] I_{1}=\int_{}^{ } \sqrt{x^2+1} dx [/tex]. От формулата за интегриране по части получаваме:
[tex] I_{1}=x\sqrt{x^2+1} -\int_{}^{ } \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+1} } [/tex]
[tex] I_{1}=x\sqrt{x^2+1} -\int_{}^{ } \frac{(x^2+1)dx}{ \sqrt{x^2+1} } [/tex]
[tex]I_{1}=x\sqrt{x^2+1} -\int_{}^{ } \sqrt{x^2+1} +\int_{}^{ } \frac{dx}{\sqrt{x^2+1} } [/tex]
[tex]I_{1}=x\sqrt{x^2+1} -I_{1}+\int_{}^{ } \frac{dx}{ \sqrt{x^2+1} }[/tex]
Така получаваме [tex] 2I_{1}=x\sqrt{x^2+1}+\int_{}^{ } \frac{dx}{ \sqrt{x^2+1} }[/tex].
[tex] ( ln( x+\sqrt{x^2+1})'=\frac{1+\frac{x}{ \sqrt{x^2+1} } }{x+\sqrt{x^2+1} }[/tex] Производната на тази функция следователно е :
[tex] ( ln( x+\sqrt{x^2+1})'=\frac{x+\sqrt{x^2+1} }{ (x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1} }[/tex]=[tex]\frac{1}{\sqrt{x^2+1} } [/tex]. Следователно
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{ \sqrt{x^2+1} } =ln/x+\sqrt{x^2+1} /+C [/tex]
От където [tex] I_{1}=\frac{x\sqrt{x^2+1} }{ 2} +\frac{1}{ 2}ln/x+\sqrt{x^2+1} /+C_{1} [/tex]

[Love Greez]

Благодаря Ви много за отзивчивостта !!!