две задачки за допирателни

[RVMD]

помуш

[Реклама]

[nikko1]

2) Използвам необходимо и достатъчно условие
правата [tex]l:\ ux+vy+w=0[/tex] да се допира до хипербола [tex]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/tex] и това условие е [tex]\color{red}-u^2a^2+v^2b^2+w^2=0[/tex], заместваш
[tex]a^2=b^2=8[/tex] и [tex]u=6,\ v=-2[/tex] и намираш [tex]w_{1,2}=\pm 16[/tex] и допирателните са
[tex]l_1:\ 6x-2y+16=0\Leftrightarrow\ l_1:\ 3x-y+8=0[/tex] и аналогично [tex]l_2:\ 3x-y-8=0[/tex]
ето и кратинка

[RVMD]

представа си нямаш колко много ти благодаря!

[nikko1]

2) [tex]t:\ ux+vy+w=0[/tex] да е обща допирателна.
НДУ за елипса е [tex]u^2a^2+v^2b^2-w^2=0[/tex], където a и b са полуосите на елипсата, т.е. 5 и 4. Следователно едното уравнение е [tex]\color{red}5u^2+4v^2-w^2=0[/tex]
За параболата [tex]y^2=12x[/tex] изразявам [tex]x=\frac{y^2}{12}[/tex] и замествам в уравнението на правата [tex]u\frac{y^2}{12}+vy+w=0[/tex] за да е допирателна трябва да има един двоен корен, т.е да има нулева дисктриминанта [tex]D=v^2-4\frac{u^2}{12}w=0\Leftrightarrow\[/tex] [tex]\color{red}3v^2=uw[/tex]
От двете червени уравнения изразвам u и w чрез v и се получават две допирателни
[tex]t_1:\ x-y+3=0[/tex] и [tex]t_2:\ x+y+3=0[/tex]
ето и картинка