система

[mathinvalidnik]

нека a,b са положителни числа и a.b>2.Да се докаже,че системата:

[tex]\begin{tabular}{|l}x.y=1\\\frac{x^{2}}{a^{2} }+\frac{y^{2}}{b^{2} }=1 \end{tabular}[/tex] Има 4 различни реални решения [tex](x_{1};y_{1})(x_{2};y_{2})(x_{3};y_{3})(x_{4};y_{4})[/tex] .Да се намери лицето на четириъгълника ,чиито върхове са точките с тези координати

[Реклама]

[martin123456]

[tex]\frac{x}{a}=u[/tex],[tex]\frac{y}{b}=v[/tex]
[tex]uv=ab[/tex]
[tex]u^2+v^2=1[/tex]=>[tex]u+v=\pm \sqrt{1+2ab}[/tex]
=>[tex]u[/tex],[tex]v[/tex] са корени на (1,2)[tex]t^2- \pm t\sqrt{1+2ab}+ab=0[/tex].
ако това уравнение няма корени => систематаа няма
ако има 1 корен => [tex]u=v[/tex]=>системата има 1 корен
ако има 2 корена => последната система има [tex](t_1,t_2)[/tex],[tex](t_2,t_1)[/tex] за решения
ето защо (1,2) трябва да имат по 2 реални корена
и на двете [tex]D=1-2ab[/tex], корени [tex]t_{1,2}= \frac{\sqrt{1+2ab} \pm \sqrt{1-2ab}}{2}[/tex],[tex]t_{3,4}= \frac{-\sqrt{1+2ab} \pm \sqrt{1-2ab}}{2}[/tex]
значи за [tex](u,v)[/tex]:
[tex]A1(\frac{\sqrt{1+2ab} + \sqrt{1-2ab}}{2},\frac{\sqrt{1+2ab} - \sqrt{1-2ab}}{2})[/tex],[tex]A2(\frac{\sqrt{1+2ab} - \sqrt{1-2ab}}{2},\frac{\sqrt{1+2ab} + \sqrt{1-2ab}}{2})[/tex],[tex]A3(\frac{-\sqrt{1+2ab} + \sqrt{1-2ab}}{2},\frac{-\sqrt{1+2ab} - \sqrt{1-2ab}}{2})[/tex],[tex]A4(\frac{-\sqrt{1+2ab} - \sqrt{1-2ab}}{2},\frac{-\sqrt{1+2ab} + \sqrt{1-2ab}}{2})[/tex].

фигурата е успоредник, понеже [tex]A_1A_2=A_3A_4[/tex] и [tex]A_1A_3=A_2A_4[/tex].
даже е правоъгълник, понеже [tex]A_3A_1[/tex] и [tex]A_1A_2[/tex] са диагонали в квадрати. Оттук лицето се намира лесно.

заб: точките трябва да са различни и трябва да се провери

[mathinvalidnik]

[tex]uv=ab[/tex] ?

[martin123456]

[tex]\frac{x}{a}=u[/tex],[tex]\frac{y}{b}=v[/tex]
умножаваме [tex]1=uvab[/tex], значи [tex]uv=\frac{1}{ab}[/tex]
но това не променя логиката

[naitsirk]

Яка задача (rock)! Лицето го докарах до: [tex]S=2\sqrt{(ab)^2-4}[/tex] след тонове сметки