Параметрично квадратно уравнениве

[east_hoko]

Дадено е уравнението : [tex] (a^2+1)x^2+2ax-3=0 [/tex] . За кои [tex] a [/tex] уравнението има корен [tex] x_{1} [/tex] в интервала (0;1) и втори корен [tex] x_{2} [/tex] , за който е изпълнено неравенството [tex] |x_{2}|<x_{1}(1-x_{2}) [/tex].

[Реклама]

[martosss]

Здрасти, Цвети!
Тази задачка не е чак толкова трудничка:
[tex]D=a^2+3(a^2+1)=4a^2+3>0[/tex]
Оттук [tex]x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{D}}{a^2+1}[/tex]
[tex]x_1=\frac{-a-\sqrt{D}}{a^2+1}<0[/tex]
[tex]x_2=\frac{-a+\sqrt{D}}{a^2+1}[/tex]
Сега по условие имаш, че единият корен трябва да е между 0 и 1, а другият да изпълнява някакво си условие. Тъй като за х₁ заключихме, че е отрицателен, то той не може да е между 0 и 1, значи х₂ ще е между 0 и 1. Тогава за х₁ остава да изпълнява второто неравенство.
Тоест остава да решиш системата:
[tex]\begin{tabular}{|l}0<x_2<1\\-\underbrace{x_2}_{<0}<x_1(1-x_2)\end{tabular}[/tex]
Сега за второто неравенство ще е добре да поработиш малко с Виет, а първото го разделяш на две части и решаваш всяка от тях поотделно. Накрая засичаш решенията(взимаш само общата им част) и си готова.

[martin123456]

има кроен в интервала (0,1) <=> [tex]f(0)f(1)<0[/tex] <=>[tex]-3(a^2+1+2a-3)=-3(a^2+2a-2)<0[/tex]<=>[tex]a^2+2a-2>0[/tex]
произведението на корените е <0, а единият корен е положителн => другият е отрицателен=> [tex]x_2<0[/tex]
неравенството което трябва да е изпълнено става [tex]-x_2<x_1(1-x_2)[/tex] <=> [tex]x_1+x_2>x_1x_2[/tex]<=>[tex]-2a>-3[/tex]
=>реши системата
[tex]a^2+2a-2>0[/tex]
[tex]-2a>-3[/tex]

[martosss]

[martin123456]

да, въобще не е еквивалентно, както съм написал.

трябва да е така : произведението е отрицателно => един положителн и един отрицателен
=> най много един корен там
тогава е неонх и дост условието [tex]f(0)f(1) \leq 0[/tex]

[east_hoko]

Благодаря