2 Задачи от 11 клас

[slavoi]

Зад1: Да се намери броят на членовете на аритметичната прогресия а₁,а₂,а₃, ...... а_n ,aко е известно че а₁,а_n,S_n са последователни членове също на аритметична прогресия и S²_n+7a²₁ < 4a²_n

Зад2: Окръжност k₁ с радиус r₁ се допира до раменете на ъгъл с големина 60°.Втора окръжност k₂ се допира външно до k₁ и до раменете на ъгъла.Окръжност k₃ с радиус r₃ се допира външно до k₂ и до раменете на ъгъла и и т.н.Да се докаже, че редицата r₁,r₂,r3,.... е прогресия.Да се определи видът и.Ако r₁= 1,да се намери сборът r₁+r₂+r₃+r₄+r₅+r₆

[Реклама]

[martin123456]

нека [tex]a_1=a[/tex],[tex]a_2=a+d[/tex],...,[tex]a_n=a+(n-1)d[/tex]
[tex]S_n=na+d\frac{(n-1)n}{2}[/tex]

1)[tex]a_1+S_n=2a_n[/tex]<=>[tex]a+na+d\frac{(n-1)n}{2}=2(a+(n-1)d)[/tex]=>[tex]2a+dn=4d[/tex]
a,d са константи, значи [tex]n=\frac{4d-2a}{d}=4-\frac{2a}{d}[/tex] е константа

2)[tex]S_{n}^{2}+7a_{1}^{2}<4a_{n}^{2}[/tex]
[tex](na+d\frac{(n-1)n}{2})^{2}+7a^2<4(a+(n-1)d)^2[/tex]

търсим [tex]\frac{a}{d}[/tex], заместваме [tex]n[/tex] с гореполучената стойност в последният израз (неравенството) и би трябвало да излезнат възможните стойности за отношението

[slavoi]

Мерси много,пич А някой има ли идеи по 2рата задача :S

[_sssss]

Това от сборника на Коларов ли са?
За втората, ще се използва правоъгълен с 30 градуса.
Така разстоянието [tex]\normal O_n O_{n-1}=2r_n-2r_{n-1}[/tex] (приели сме, че [tex]\normal r_n >r_{n-1}[/tex] )
Същевременно разстоянието м/у центровете на две допиращи се окръжности е сбор от радиусите.
[tex]\normal O_n O_{n-1}=r_n+r_{n-1}[/tex]

И гледаш да докажеш, че [tex]\normal {r_n}^2=r_{n-1}r_{n+1}[/tex]

Ето пак първата: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=7795

[martosss]

Аз за втората задача докарвам, че всяка следваща окръжност трябва да има 3 пъти по-голям радиус от предишната, тоест се получава геометрична прогресия с частно 3 или 1/3( в зависимост от коя страна построяваме окръжностите). Сега като се замисля не е задължително тези окръжности да образуват прогресия, това зависи от начина, по който ги построяваме. Ако построим окръжността, приближавайки се до върха на ъгъла, то радиусът ще се намали, а ако се отдалечаваме - радиусът ще се увеличи 3 пъти. Тъй като в условието е споменато, че строим външно, но не е уточнено от коя страна, то имаме два варианта за построяване на всяка една от окръжностите.