СУ(2002)

gsinekliev · Пуснато на: Tue Dec 29, 2009 6:07 pm Заглавие: СУ(2002)

Здравейте съфорумници! Предлагам една според мен трудна стереометрична задача.
В триъгълната пирамида [tex]ABCM[/tex] околния ръб [tex]MC[/tex] сключва с основата [tex]ABC[/tex] ъгъл с големина [tex]45^\circ [/tex]. Околните ръбове MA и MB, както и околните стени [tex]MAC[/tex] и [tex]MBC[/tex] сключват с основата ъгли с големина [tex]60^\circ [/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, ако около нея е описана сфера с радиус [tex]R[/tex].

По принцип успявам да построя центъра на сферата, но като почна да изразявам страните чрез радиуса се получават едни огромни сметки, които накрая стигат до едно квадатно уравнение, което няма решение.Ако някой може да намери по-леко решение или поне да получи някакъв отговор, ще бъда много благодарен ако го напише или поне да го скицира.Благодаря предварително.

Реклама

ганка симеонова · Пуснато на: Tue Dec 29, 2009 9:14 pm Заглавие:

Ясно е, че върхът на пирамидата не може да се проектира във вътрешна точка за основата. (тогава ще се получат правоъгълни триъгълници с равни катет и хипотенуза).
Основата, според условието е равнобедрен триъгълник. Тогава М ще се проектира в пресечната точка на ъглополовящата на ъгъла при върха и симетралата на основата, която точка е в/у описаната окръжност.
Тогава[tex]\angle MCO=45^\circ ; \angle CBO=\angle CAO=90^\circ ; \angle CBM=\angle CAM=90^\circ ; \angle MBO=\angle MAO=60^\circ [/tex]
[tex]\Delta CAM; \Delta CBM[/tex]- правоъгълни с обща хипотенуза СМ.
Ясно е, че нейната среда- т. S е равноотдалечена от всички върхове на пирамидата=> център на описаната сфера.
[tex]\Delta COM[/tex]- равнобедрен и правоъгълен с хипотенуза [tex]CM=R[/tex]...
Мисля, че е достатъчно.

gsinekliev · Пуснато на: Wed Dec 30, 2009 9:40 am Заглавие:

Добро решение. Само че не мога да разбера как доказвате че M се проектира в точка от описаната окръжност. Основата е равнобедрен и ъглополовящата на върха C съвпада със симeтралата на AB.В такъв случай те не се пресичат в точно определена точка.

ганка симеонова · Пуснато на: Wed Dec 30, 2009 10:17 am Заглавие:

Оставям на теб да докажеш защо основата е равнобедрен триъгълник.
За всеки триъгълник ъглополовящата на ъгъл и симетралата на срещуположната му страна се пресичат в точка от описаната окръжност.
Ако допуснем, че тази точка е вътрешна [tex]O_1[/tex]( т.к. симетралата и ъглополовящата в случая съвпадат)=>от условиетo ще следва, че
[tex]A_1O_1=AO_1; B_1O_1=BO_1[/tex], което е невъзможно.